高中数学必修1的第一章的练习题

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第一章集合与函数概念

一、选择题

1．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝，

P＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么CU(M∪P)等于()．

A． B．{(2，3)}

C．(2，3) D．{(x，y)|y＝x＋1}

2．若A＝{a，b}，BA，则集合B中元素的个数是()．

A．0 B．1 C．2 D．0或1或2

3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点数目是()．

A．1 B．0 C．0或1 D．1或2

4．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是()．

A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7

5.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则()．

A．b∈(－∞，0) B．b∈(0，1)

C．b∈(1，2) D．b∈(2，＋∞)

6．设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()．

A．1 B．2 C．3 D．4

7．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，下列从A到B的对应法则f不是映射的是()．

A．f:x→y＝x B．f:x→y＝x C．f:x→y＝x D．f:x→y＝x

8．有下面四个命题：

①偶函数的图象一定与y轴相交；

②奇函数的图象一定通过原点；

③偶函数的图象关于y轴对称；

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．

其中正确命题的个数是()．

A．1 B．2 C．3 D．4

9．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是()．

A．递减函数 B．递增函数

C．先递减再递增 D．先递增再递减

10．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的对称轴是x＝2，则有()．

A．f(1)＜f(2)＜f(4) B．f(2)＜f(1)＜f(4)

C．f(2)＜f(4)＜f(1) D．f(4)＜f(2)＜f(1)

二、填空题

11．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是．

12．若集合A＝{x|x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝___，b＝___．

13．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元．

14．已知f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝；f(x－2)＝．

15．y＝(2a－1)x＋5是减函数，求a的取值范围．

16．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈［0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈

(－∞，0］时，f(x)＝．

三、解答题

17．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R．

①若A是空集，求a的范围；

②若A中只有一个元素，求a的值；

③若A中至多只有一个元素，求a的范围．

18．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，求a，b的值．

19．证明f(x)＝x3在R上是增函数．

20．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝3x4＋；　 (2)f(x)＝(x－1)；

(3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝＋．

第一章集合与函数概念

参考答案

一、选择题

1．B

解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么MP就是坐标平面上不含点(2，3)的所有点组成的集合．因此CU(MP)就是点(2，3)的集合．

CU(MP)＝{(2，3)}．故选B．

2．D

解析：∵A的子集有，{a}，{b}，{a，b}．∴集合B可能是，{a}，{b}，{a，b}中的某一个，∴选D．

3．C

解析：由函数的定义知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1是有可能没有交点的，如果有交点，那么对于x＝1仅有一个函数值．

4．B

解析：∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴g(x)＝2x－1．

5．A

解析：要善于从函数的图象中分析出函数的特点．

解法1：设f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax，比较系数得b＝－3a，c＝2a，d＝0．由f(x)的图象可以知道f(3)＞0，所以

f(3)＝3a(3－1)(3－2)＝6a＞0，即a＞0，所以b＜0．所以正确答案为A．

解法2：分别将x＝0，x＝1，x＝2代入f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d中，求得d＝0，a＝

－b，c＝－b.∴f(x)＝b(－x3＋x2－x)＝－［(x－)2－］．

由函数图象可知，当x∈(－∞，0)时，f(x)＜0，又［(x－)2－］＞0，∴b＜0．

x∈(0，1)时，f(x)＞0，又［(x－)2－］＞0，∴b＜0．

x∈(1，2)时，f(x)＜0，又［(x－)2－］＜0，∴b＜0．

x∈(2，＋∞)时，f(x)＞0，又［(x－)2－］＞0，∴b＜0．

故b∈(－∞，0)．

6．C

解：由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，

得，∴．

∴f(x)=

由得x＝－1或x＝－2；由得x＝2．

综上方程f(x)＝x的解的个数是3个．

7．A

解：在集合A中取元素6，在f：x→y＝x作用下应得象3，但3不在集合B＝

｛y｜0≤y≤2｝中，所以答案选A．

8．A

提示：①不对；②不对，因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含0；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数还可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．所以答案选A．

9．C

解析：本题可以作出函数y＝x2－6x＋10的图象，根据图象可知函数在(2，4)上是先递减再递增．答案选C．

10．B

解析：∵对称轴x＝2，∴f(1)＝f(3).∵y在〔2，＋∞〕上单调递增，

∴f(4)＞f(3)＞f(2)，于是f(2)＜f(1)＜f(4)．∴答案选B．

二、填空题

11．x≠3且x≠0且x≠－1．

解析：根据构成集合的元素的互异性，x满足

解得x≠3且x≠0且x≠－1．

12．a＝，b＝．

解析：由题意知，方程x2＋(a－1)x＋b＝0的两根相等且x＝a，则△＝(a－1)2－4b＝0①，将x＝a代入原方程得a2＋(a－1)a＋b＝0②，由①②解得a＝，b＝．

13．1760元．

解析：设水池底面的长为xm，水池的总造价为y元，由已知得水池底面面积为4m2.，水池底面的宽为m．

池底的造价y1＝120×4＝480．

池壁的造价y2＝(2×2x＋2×2×)×80＝(4x＋)×80．

水池的总造价为y＝y1＋y2＝480＋(4x＋)×80，

即y＝480＋320(x＋)

＝480＋320．

当＝，即x＝2时，y有最小值为480＋320×4=1760元．

14．f(x)＝x2－4x＋3，f(x－2)＝x2－8x＋15．

解析：令x＋1＝t，则x＝t－1，因此f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3．∴f(x－2)＝(x－2)2－4(x－2)＋3＝x2－8x＋15．

15．(－∞，)．

解析：由y=(2a－1)x＋5是减函数，知2a－1＜0，a＜．

16．x(1－x3)．

解析：任取x∈(－∞，0］，有－x∈［0，＋∞)，

∴f(－x)＝－x［1＋(－x)3］＝－x(1－x3)，

∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－x3)，

即当x∈(－∞，0］时，f(x)的表达式为x(1－x3)．

三、解答题

17．解：①∵A是空集，

∴方程ax2－3x＋2＝0无实数根．

∴解得a＞．

②∵A中只有一个元素，

∴方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根．

当a＝0时，方程化为－3x＋2＝0，只有一个实数根x＝；

当a≠0时，令Δ＝9－8a＝0，得a＝，这时一元二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根，即A中只有一个元素．

由以上可知a＝0，或a＝时，A中只有一个元素．

③若A中至多只有一个元素，则包括两种情形：A中有且仅有一个元素；A是空集．由①②的结果可得a＝0，或a≥．

18．解：根据集合中元素的互异性，有

解得或或

再根据集合中元素的互异性，得或

19．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)(＋x1x2＋)．

又＋x1x2＋＝(x1＋x2)2＋．

由x1＜x2得x1－x2＜0，且x1＋x2与x2不会同时为0，

否则x1＝x2＝0与x1＜x2矛盾，

所以＋x1x2＋＞0．

因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

f(x)＝x3在R上是增函数．

20．解：(1)∵函数定义域为{x|x∈R，且x≠0}，

f(－x)＝3(－x)4＋＝3x4＋＝f(x)，∴f(x)＝3x4＋是偶函数．

(2)由≥0解得－1≤x＜1．

∴函数定义域为x∈［－1，1)，不关于原点对称，∴f(x)＝(x－1)为非奇非偶函数．

(3)f(x)＝＋定义域为x＝1，

∴函数为f(x)＝0(x＝1)，定义域不关于原点对称，

∴f(x)＝＋为非奇非偶函数．

(4)f(x)＝＋定义域为Þx∈{±1}，

∴函数变形为f(x)＝0(x＝±1)，∴f(x)=＋既是奇函数又是偶函数．