4.7高中数学竞赛模拟试卷|全国高中生数学竞赛

高中数学竞赛模拟试卷

（第一试）

福州一中王欣

一、选择题(每小题6分,共36分)

⎛cosα⎫⎛cosβ⎫1．设函数f(x)=sinβ⎪⎪+sinα⎪，α、β为锐角，如果对任意x＞0，⎭⎝⎭⎝

都有f（x）＜2，那么（）（A）xx0α+βπ

4（B）0α+βπ

2（C）π

4α+βπ

2（D）α+βπ

2

2．定义在R上的函数满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2－|x－4|则

（）

（A）f(sinπ

66

2π2π)f(sin2)（C）f(cos33

3．若不等式a+b≤m⋅a2+b2对所有正实数a、b都成立，则m的最小值是（）

(A)2(B))f(cos1)2(C)2(D)43

4

x2y2

+=1上有n个不同的点P1，4．椭圆P2，…，Pn，F是右焦点，{|PiF|}（i=1,2,,n）43

组成公差d>1的等差数列。则n的最大值是（）100

（A）199（B）200（C）99（D）100

25．已知数列{an}满足an，且a1==an+1an-1（n≣1）2，则与a2006最接近的自然数

是（）

(A)8（B）9（C）10（D）11

6．在边长为1的正方体C内，作一个内切大球O1，再在C内的一个角顶内，作小球O2，使它与大球外切，同时与正正方体的三个面相切．则球O2的面积为（）(A)(7-43)π(B)(7+4)π(C)2+2-3π(D)π22

二、填空题(每小题9分,共54分)

7

．已知定点A，若动点P在抛物线y2=4x上，且点P在y轴上的射影为点M，则|PA|-|PM|的最大值是________.

8．已知函数f(x)=2x+3．若y=g(x)的图象与y=fx-1-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，则g(3)值等于．

9.一个正三棱锥的三条侧棱长均为1，且两两垂直。将这个三棱锥绕着它的高旋转60，则旋转后的三棱锥与原三棱锥公共部分的体积为.

10．一个由16个小方格组成的4×4的棋盘，将其中8个小方格染黑，使得每行、每列都恰有2个黑格，则有种不同的染法。（用数字作答）

11.已知平面上两个点集

M={(x,y)||x+y+1|≥x,y∈R},N={(x,y)||x-a|+|y-1|≤1,x,y∈R}.若MN≠∅,则a的取值范围是.

12、若6+2+2(m、n∈N)是一个完全平方数，则所有可能的(m,n)=.mn

三．解答题（每小题20分，共60分）

13．甲和乙轮流掷一枚均匀硬币，谁先掷出正面谁获胜，此时本场结束，而且负方在下一场先掷.

（1）求任一场比赛中，先掷的人获胜的概率；

（2）设他们一共玩了10场，且甲第一场先掷，记甲赢得第k场的概率为Pk.若

k1

x2y2

14．已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)，动圆F:x2+y2=R2，其中b是椭圆E上的点，B是动圆F上的点，且使直线AB与椭圆E和动圆F均相切，求A、B两点的距离的最大值。

15．已知不等式2(2a+3)cos(θ-π

4)+6

对于θ∈⎢0,⎥恒成立，求实数a的取值范围。⎣2⎦⎡π⎤

加试

1．（50分）△ABC中BC+CA=3AB,内心为I,内切圆分别切BC,CA于D,E.设D,E关于I的对称点分别为K,L.求证,A,B,K,L四点共圆.

2．（50分）3.给定实数a>1.对于满足条件(x1+x2+x3+x4+x5)(11111++++)=25a的x1x2x3x4x5所有正实数组(x1,x2,x3,x4,x5),试求max{x1,x2,x3,x4,x5}的取值范围.min{x1,x2,x3,x4,x5}

3.n支球队(n>2)参加单循环赛.每两队赛一场,每场比赛都分出胜负.若有三队A,B,C比赛结果是A胜B,B胜C,C胜A,就称它们构成一个连环套.全部比赛结束后最多有多少个连环套?

参考答案

（第一试）

一．选择题：

1．（D）依题意有0

即cos(α+β)α+β>π

2。选（D）。

2．（D）设－1≢x≢1，则3≢x≢5。

∴f（x）=f（x+2）=f（x+4）=2－|（x+4）－4|=2-|x|。

易知（A）、（B）、（C）错误。而f（cos2）=2－|cos2|，f（sin2）=2－|sin2|，∵|sin2|＞|cos2|，∴f（cos2）＞f（sin2）∴选（D）。

a2+b2

3．（C）∵a+≤2(a+b)≤2，当且仅当a=b时等号成立。2

∴m≥24，即m的最小值为2。∴选（C）。

4．（B）∵|PnF|=|P1F|+（n－1）d，∴n=1+33PnF-P1F

d，

在椭圆中焦半径|PiF|的最大值是a+c，最小值是a－c，则

|PnF|－|P1F|≢a+c－（a－c）=2c=2。