最难的初中数学题
这是09年浙江省的中考附加题，我觉得挺难的···若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.(1)若点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为;
(2)如图5,在锐角△ABC外侧作等边△ACB′,连结BB′.
求证:BB′过的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.
以B为顶点，往BC边外旋转BPC60度得到BDE，根据费马点的定义，以及旋转，有：
1)∠APB=120度
2)∠BDE=∠BPC=120度
3)A、P、D、E四点共线
4)△BPD是等边三角形
5)∠CBE=60度
因为∠ABC=60度，所以
6)∠ABE=∠ABC+∠CBE=120度
根据4)、6)有：
7)∠ABP+∠DBE=60度
因为∠ABP+∠BAP=60度，所以
8)∠DBE=∠BAP
由1)、2)、8)知道△APB相似于△BDE，于是AP/BP=BD/DE=BP/CP
从而BP^2=AP*CP，即BP=2√3
由∠BPA=120°，∠AB′C=60°，
∴A，P，C，B′四点共圆。
∴∠APB′=∠ACB′=60°，
∴∠APB+∠APB′=180°，
∴BPB′三点共线。
在PB′上取一点D，使得∠PCD=60°，
由∠CPB′=120°-60°=60°，
∴△PCD是等边三角形，得：PC=PD（1），
在△APC和△B′DC中，
AC=B′C，由∠PCD=∠ACB′=60°，
∴∠ACP=∠B′CD，PC=DC，
∴△ACP≌△B′CD，得AP=DB′（2）
由（1），（2)得：
BP+AP+CP=BB′。证毕。
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