高分!证明一道高中数学题.
发表时间：2024-07-25 11:42:04
来源：网友投稿
分析：由求证结果可知，当n=1时，
2A(1)+1=2×1-1=1，所以A(1)=0
这个结果显然不满足已知条件。
另外由求证结果还可推出：
A(2)=1，A(3)=1/3......A(n)=1/(2n-3)(n≧2)
因此当n≧2时，可以得出：
A(n)/A(n+1)=2A(n)+1，这和已知条件仍然矛盾！
根据以上分析，我们可以将此题修改如下并解之：
已知：A(n)/A(n+1)=2A(n)+1，A(1)=1
求证：
[2A(1)+1][2A(2)+1]···[2A(n)+1]=2n+1
根据已知条件得：
1/A(n+1)-1/A(n)=2，所以A(n)的倒数组成公差为2的等差数列，设：
1/A(n)=1/A(1)+2(n-1)
即A(n)=A(1)/(1+2(n-1)A(1))
所以2A(n)+1=(1+2nA(1))/(1+2(n-1)A(1))
所以：
[2A(1)+1][2A(2)+1][2A(3)+1]···[2A(n)+1]
=(1+2A(1))/(1)×(1+4A(1))/(1+2A(1))
×(1+6A(1))/(1+4A(1))×...×(1+2nA(1))/(1+2(n-1)A(1))
=1+2nA(1)
=2n+1
证毕。
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