求一道高中数学题，关于椭圆的

首先设椭圆为C,证明如下：

（1）对椭圆C：x2+y2/2=1，c²=a²-b²=2-1=1，∴c=1，焦点为F(0,1)

过焦点斜率为-√2的直线为：y=-√2x+1

代入椭圆方程得x²+(-√2x+1)²/2=1，整理得4x²-2√2x-1=0

设交点为A(x1,y1),B(x2,y2)，向量OA+向量OB=向量OC，则C=C(x1+x2,y1+y2)

因x1+x2=√2/2，y1+y2=-√2(x1+x2)+2=-1+2=1；∴C=C(√2/2,1)

因OA+OB+OP=OC+OP=0,∴OP=-OC

即向量OP与OC大小相等，方向相反，∴P=P(-√2/2,-1)

将P代入椭圆C方程，得左边=(-√2/2)²+(-1)²/2=1/2+1/2=1=右边

∴点P在椭圆C上

（2）感谢楼下的评论，确实A,P,B,Q四点在同一圆上，当时没想到

证明如下：

直线AB与椭圆相交，由(1)中方程4x²-2√2x-1=0可解得

x1=(√2+√6)/4，x2=(√2-√6)/4；

AB直线方程为y=-√2x+1，对应可得y1=(1-√3)/2，y2=(1+√3)/2

又P的对称点Q即为C，由(1)的求解过程已求得。故可知A,P,B,Q四点的坐标为：

A((√2+√6)/4,(1-√3)/2),B((√2-√6)/4,(1+√3)/2),P(-√2/2,-1),Q(√2/2,1)

过任意两点的圆的圆心必在两点连线的中垂线上

已知AB斜率为-√2，易求得直线AB中点为E(√2/4,1/2)，∴AB中垂线为y-1/2=(x-√2/4)/√2

同理PQ斜率为(-1-1)/(-√2/2-√2/2)=√2，PQ中点为O(0,0)，∴PQ的中垂线为y=-x/√2

联立两条中垂线，解得交点为M(-√2/8,1/8)

现在欲证明A,P,B,Q四点在同一圆上，只需证明MA=MB=MP=MQ即可

而MA²=((√2+√6)/4+√2/8)²+((1-√3)/2-1/8)²=99/64=>MA=3/8*√11

MB²=((√2-√6)/4+√2/8)²+((1+√3)/2-1/8)²=99/64=>MB=3/8*√11

MP²=(-√2/2+√2/8)²+(-1-1/8)²=99/64=>MP=3/8*√11

MQ²=(√2/2+√2/8)²+(1-1/8)²=99/64=>MQ=3/8*√11

∴MA=MB=MP=MQ，可知A，P，B，Q四点在同一圆上，证毕