高中数学椭圆题求解（麻烦详细讲一下，谢谢~）
椭圆C：x²/a²+y²/b²=1，离心率为√3/2，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C交于A、B,若AF向量=3FB向量，则k=?
解;设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)
e=c/a=√3/2,故a=2c/√3,b=√(a²-c²)=√(4c²/3-c²)=c/√3=a/2.
故椭圆方程可改写为：3x²+12y²=4c².................(1)
设直线方程为y=k(x-c),即x=(y/k)+c,代入（1）式得：
3(y/k+c)²+12y²=4c²，3（y²/k²+2cy/k+c²)+12y²=4c²，3y²+6cky+12k²y²-c²k²=0
于是得：3(1+4k²)y²+6ck²y-c²k²=0
故y₁+y₂=-2ck²/(1+4k²)..............(1)
y₁y₂=-c²k²/3(1+4k²)...............(2)
∵│AF│/│BF│=│y₁│/│y₂│=3,∴│y₁│=3│y₂│,又因为y₁与y₂异号，
故有y₁=-3y₂代入（1）（2）并化简得：
y₂=ck²/(1+4k²)...........................(3)
3(y₂)²=c²k²/3(1+4k²)..................(4)
将（3）代入（4）得等式：
3[ck²/(1+4k²)]²=c²k²/3(1+4k²)，(消去c²,提公因式）
[k²/(1+4k²)][3k²/(1+4k²)-1/3]=0
k≠0,故有3k²/(1+4k²)-1/3=0
化简得9k²-(1+4k²)=0,5k²=1,故k=±√(1/5).
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