当前位置：新励学网 > 应试教育 > 求解一道高中数学导数题

求解一道高中数学导数题

发表时间：2024-07-25 13:03:53 来源：网友投稿

已知函数f(x)=lnx+m/x(m∈R).

（1）当m=e时，求f(x)的极小值；

（2）讨论函数g(x)=f’(x)-x/3零点的个数；

（3）若对任意b>a>0，[f(b)-f(a)]/(b-a)<1恒成立，求m的取值范围。

(1)解析：当m=e时，f(x)=lnx+e/x，令f′(x)=(x-e)/x^2=0==>x=e；∴当x∈(0,e)时，f′(x)＜0，f(x)在(0,e)上是减函数；当x∈(e,+∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(e,+∞)上是增函数；∴x=e时，f(x)取得极小值f(e)=lne+e/e=2；

(2)解析：∵函数g(x)=f′(x)-x/3=1/x-m/x^2-x/3(x＞0)，令g(x)=0，得m=-1/3x^3+x(x＞0)；设φ(x)=-1/3x^3+x(x≥0)，∴φ′(x)=-x^2+1=-(x-1)(x+1)；当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上是增函数，当x∈(1,+∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1,+∞)上是减函数；∴φ(x)在x=1处取极大值，x=1是φ(x)的最大值点，φ(1)=2/3；又φ(0)=0，结合y=φ(x)的图象，如图；

可知：当m＞2/3时，函数g(x)无零点；当m=2/3时，函数g(x)有且只有一个零点；当0＜m＜2/3时，函数g(x)有两个零点；当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；综上：

当m＞2/3时，函数g(x)无零点；当m=2/3或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0＜m＜2/3时，函数g(x)有两个零点；

(3解析：∵对任意b＞a＞0，[f(b)-f(a)]/(b-a)<1恒成立，等价于f(b)-b＜f(a)-a恒成立；设h(x)=f(x)-x=lnx+m/x-x(x＞0)，∴h(x)在(0,+∞)上单调递减；∵h′(x)=1/x-m/x^2-1≤0在(0,+∞)上恒成立，∴m≥-x^2+x=-(x-1/2)^2+1/4(x＞0)，∴m≥1/4；对于m=1/4，h′(x)=0仅在x=1/2时成立；∴m的取值范围是[1/4,+∞)．

免责声明：本站发布的教育资讯（图片、视频和文字）以本站原创、转载和分享为主，文章观点不代表本网站立场。

如果本文侵犯了您的权益，请联系底部站长邮箱进行举报反馈，一经查实，我们将在第一时间处理，感谢您对本站的关注！