求助高中数学不等式，如果回答有帮助，我会马上采纳
发表时间：2024-07-27 17:41:57
来源：网友投稿
x+y=k,x,y为正实数,设xy=u属于(0,k^2/4],
(x+1/x)*(y+1/y)
=u+(k^2-2u)/u+1/u
=u-2+（k^2+1)/u,记为f(u),
f'(u)=1-(k^2+1)/u^2=[u-√(k^2+1)][u+√(k^2+1)]/u^2,
当√(k^2+1)8+4√5①时
f(u)的最小值=f[√(k^2+1)]=2√(k^2+1)-2>=(k/2+2/k)^2=K^2/4+2+4/k^2,
设v=√(k^2+1)>√5+2(由①),则k^2=v^2-1,上式变为
2v-2>=(v^2-1)/4+2+4/(v^2-1),
4(2v-4)(v^2-1)>=(v^2-1)^2+16,
8v^3-16v^2-8v>=v^4-2v^2+1,
g(v)=v^4-8v^3+14v^2+8v+1<=0,②
g'(v)=4v^3-24v^2+28v+8=4(v-2)[v-(2+√5)][v-(2-√5)]>0,
所以g(v)是增函数，g(v)>g(2+√5)=0，②不成立。
k^2<=8+4√5时f(u)最小值=f(k^2/4)=(k/2+2/k)^2，题中不等式成立，
所以0<k<=2√(2+√5),为所求。
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