一道高中数学题，有关集合的

首先你得知道集合的这个关系式：

n(X)=2^|X|；

那么A、B、C的关系就可作如下转化：

n(A)+n(B)+n(C)=n(A∪B∪C)；

2^|A|+2^|B|+2^|C|=2^|A∪B∪C|；

将条件|A|=|B|=100代入上式，得：

2^100+2^100+2^|C|=2^101+2^|C|=2^|A∪B∪C|；

现在就得用到幂运算的性质了：

上式中集合的元素个数肯定是整数；

而【2个底数为2的整数次幂相加，结果是另一个底数为2的整数次幂】；

这样的等式只有一种可能：

【两个加数的次幂相等】；

即：|C|=101；此时，有：

2^101+2^101=2^102=2^|A∪B∪C|；

所以：|A∪B∪C|=102；

下面就是集合的并、交问题了：

首先A、B、C至少两两相交，否则A∪B∪C的元素肯定超过102个；不妨先考虑A、B两个集合：已知A、B各含100个元素，那么我们就可以求出它们的“交集”与“并集”的元素个数的关系了：

|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=200-|A∩B|；

还有它们的取值范围：

0≤|A∩B|≤100；

100≤|A∪B|≤200；

本题中：

|A∪B|≤102；

所以：

|A∩B|的范围就被限定为：100,99,98这3个值；

再把C加进来就行了；对C的要求就是：

|A∪B∪C|=102；————————————————①

可分别讨论：

（1）|A∩B|=100；此时|A∪B|=100；根据①可知：

C必然恰好有2个元素不在A∪B中，有99个在A∪B中；

而此时A∪B=A∩B，即：A∪B中的【100】个元素全都在A∩B中，那么：C中的那【99】个元素，必然全都在A∩B中；所以：

|A∩B∩C|=99；

（2）|A∩B|=99；此时|A∪B|=101；根据①可知：

C必然恰好有1个元素不在A∪B中，有100个元素在A∪B中；

在A∪B中，有【99】个在A∩B中，有【2】个不在其中；那么：C的这【100】个元素，在分配到A∪B中时，根据有多少个分到A∩B中就有多种可能：

99+1：|A∩B∩C|=99；

98+2：|A∩B∩C|=98；

（3）|A∩B|=98；此时|A∪B|=102；根据①可知：

C的101元素必然全部都在A∪B中；

而在A∪B中，有【98】个在A∩B中，有【4】个不在其中；同（2）：C的这【101】个元素，也有多种可能：

98+3：|A∩B∩C|=98；

97+4：|A∩B∩C|=97；

综合（1）、（2）、（3）可得|A∩B∩C|的最小值为：97。