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如何利用初中知识，证明欧拉圆。

发表时间：2024-08-18 15:44:15 来源：网友投稿

证明如右图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。

证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。连结HL并延长至L'，使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。显然∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D'，C四点共圆。又因为BC和HL'互相平分于L，所以四边形BL'CH为平行四边形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L'，C四点共圆。欧拉圆综上A，B，C，D'，L'五点共圆。显然对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即△ABC的外接圆⊙O。接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），所以原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V的半径是⊙O的一半。这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。第二种简单的证法作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N,垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R（思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°）证明：（由中位线）PM平行CH，LM平行AB，又CH垂直AB∴PM垂直LM，又PD垂直LD，∴PMDL共圆。（由中位线）PR平行AC，LR平行BH，BH垂直AC，所以PR垂直LR∴PMRDL五点共圆。（由圆的的直径所对应的圆周角为直角）连接PL，则PL即为直径。所以∠PML=∠PEL=90°，所以∴PEMRDL六点点共圆，同理可证PFNQL五点共圆,PL为直径，所以PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心下证九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PHOLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点

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