小学数学总结_旋转与轨迹

第六讲 旋转与轨迹 本讲3单元的内容分别是：图形旋转，线动成面，面动成体。 图形旋转是解决几何题目的有效方法之一，在解决几何题目时，旋转的方法满足以下三个条件：

(1)通过旋转将不规则图形转化为规则图形，(2)边相等，(3)角互补或互余。在看到满足这些条件的几何图形时，要能想到“旋转”，这是一种思路，也是一种境界。 轨迹：点动成线，线动成面，面动成体。 601、【第一单元1】如图所示的四边形的面积等于多少？ 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】此题不用旋转也能做，如图一，但是，要学好看到等边、直角， 思考如何旋转。 如图二(△OAB 绕O 逆时针旋转90度) 、图三(△OAC 绕O 顺时针旋转90 度) 。图三12×12＝144。 A 图二图一图三 【答案】144。 602、【第一单元2】如图所示，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，以AC 为一边向△ABC 外作正方形，中心为O ，求阴影面积。 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】不旋转也能做， 12 ×5×3+ 14 ×(3+5) ＝16。 22 但是，要学好旋转，△OAB 绕O 逆时针旋转90度，如图。 直角△OBB ′为所求（BCB ′在一条直线上，证明很简单）。 一个等腰直角三角形，斜边长度已知，面积是可求的。 5+3＝8， 12 ×8×4＝16。 【答案】16。 603、【第一单元3】如图，已知AB ＝AE ＝4cm ，BC ＝DC ，∠BAE ＝∠BCD ＝90°，AC ＝10cm ，则S ∆ABC +S ∆ACE +S ∆CDE ＝___cm 。 2 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】△ABC 绕C 逆时针旋转90度，△ABC 绕A 顺时针旋转90度，都转到AC 的下方，在AC 的下方形成正方形，如图。也可以都转到AC 的上方形成正方形。 面积：

1、0×10÷2＝50。 【答案】50。 第1页/共7页 604、【第一单元4】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内做直角三角形ABE ，∠AEB ＝90°，AC 、BD 交于O ，已知AE 、BE 的长分别是3cm 、5cm ，求△OBE 的面积。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】提供两种解法。 解法一、悬空＝整体－空白，旋转 S ∆OBE = 1 S ∆DBE =[S ∆ABD -(S ∆ABE +S ∆ADE ) ] 22 1 E 122 S ∆ABD ＝⨯(3+5) ＝17； 2 △ABE 好求，但△ADE 不好求，将△ADE 绕A 点顺时针旋转90度，求(S ∆ABE +S ∆ADE ) 变成了求直角梯形AEBE ′的面积，(3+5)×3÷2＝12。 S ∆OBE = 12 ×(17－12) ＝2.5。 解法二、弦图 看到了正方形、直角三角形，想到弦图，做出其他三个直角三角形。 △DBE 底BE ＝5，高等于弦图中心正方形的边长,5-3＝2。 S ∆OBE = 1 11 S ∆DBE ＝×(×5×2) ＝2.5。 222 2 【答案】2.5cm 。 605、【学案1】下图△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，△ADE 是正三角形，点D 在BC 边上，BD:DC＝2:3。当△ABC 的面积是50cm 时，△ADE 的面积是多少？ 【难度级别】★★★★☆ 第2页/共7页 2 【解题思路】看到等腰，看到120°，想到旋转。 将△ABC 、△ADE 绕A 点旋转2次（120°、240°），连接D 、E 、D ′、E ′、D ″、E ″构成正六边形。 S ∆B CC ＝50×3＝150。 B B B B S ∆ADE = 1 S 正六边形，但是，正六边形有些点悬空，面积不好求，可以求△DD ′D ″的面积，6 1111 S =S =⨯(2S ) S S ∆DD D ＝，这样∆ADE ＝S ∆DD D 。 ∆DD D 正六边形正六边形 6623 S ∆DD D ＝(1- 2⨯3771 ⨯3) ⨯S ∆B CC ＝⨯S ∆B CC ＝⨯150＝42；S ∆ADE ＝×42＝14。 5⨯525325 此处用到了鸟头模型，2×3：5×5。 本题中的正六边形是需要证明的：∠CAD ′＝∠BAD ， ∠EAD ′＝∠EAC+∠CAD ′＝∠EAC+∠BAD ＝∠BAC －∠DAE ＝120°－60°＝60°，所以△EAD ′是正三角形。 【答案】14cm 。 606、【补充1】如图，在长方形中，已知2个三角形的面积是2和3，求？处的面积。 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】如图做辅助线。 第一步：求出来3（蝴蝶两翼）； 第二步：求出来4.5（面积比为2：3）； 第三步：长方形一半：3+4.5＝7.5，？＝7.5－2＝5.5。 【答案】5.5。 607、【第二单元3】直角三角形ABC 的斜边AB 长为10厘米，∠ABC ＝60°，此时BC ＝5厘米。以点B 为中心，将△ABC 顺时针旋转120°，点A 、C 到达E 、D 位置。求AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积（π取3）。 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】线动成面。将△EBD 逆时针旋转回来，阴影为2个扇形差。 2 120 ⨯π⨯(10-5) ＝⨯π⨯75＝75。 3603 22 1 A ∠CBA = 60°第3页/共7页 【答案】75平方厘米。 608、【第二单元4】如图，ABCD 是一个长为4、宽为3、对角线长为5的长方形，它绕C 点顺时针方向旋转90°，分别求出四边扫过图形的面积。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】DC ：π⨯4＝4π； 1 2 4 BC ：π⨯3＝2.25π； 1 2 4 D 2 2 AD ：

(1)旋转到(2)，π⨯(5-4) ＝2.25π； 1 4 2 2 AB ：(3)旋转到(4)，π⨯(5-3) ＝4π。 1 4 发现，对边扫过的面积相等。 【答案】AB ：4π，BC ：2.25π，CD ：4π，DA ：2.25π。 D 609、【学案2】如图△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C 点为圆心，把△ABC 顺时针旋转90度，那么AB 边在旋转时所扫过的面积是_____平方米。 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】此题，扫过的面积不太好想象。 顺时针旋转后，A 点沿弧AA ′转到A ′点， B点沿弧BB ′转 到B ′点，D 点沿弧DD ′转到D ′点。因为CD 是C 点到AB 的最 短线段，所以AB 扫过的面积就是图中的弧BAA ′与BDD ′A ′之间的阴影图形。S 阴影＝S 半圆－S 空白。 B 112 S 正方形ADCD ＝CD ＝S ∆ADC +S ∆ACD ＝S ∆ADC +S ∆BCD ＝S ∆ABC ＝×1×1＝(平方米) 。 22S 扇形DCD ’＝⨯π⨯CD ＝⨯π⨯＝。 4428 1 2 11π 1ππ13π12 S 阴影＝⨯π⨯B C －S 扇形DCD ’－(S ∆BCD +S ∆CA D ) ＝--＝-＝0.6775。 228282 【答案】0.6775。 610、【学案3】三枚半径为1cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚同样大小的硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到原来的位置，那么与原A 点重合的点是____，硬币自己转动_____，硬币圆心的运动轨迹周长为_____。 【难度级别】★★★★☆ 【解题思路】先计算轨迹的长度：三个半径为2的半圆。 E 第4页/共7页 12 ⨯(2π⨯2) ⨯3＝6π； E 硬币周长：2π⨯1＝2π；6π÷2π＝3，即为3周。 【答案】A 点，3周，6π厘米。 611、【作业3】如图所示的四边形ABCD 中， ∠A ＝∠C ＝45°，∠ABC ＝105°,AB ＝CD ＝15 厘米, 连接对角线BD ，∠ABD ＝30°。求四边 形ABCD 的面积。 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】先将所有角的度数标记出来。 发现60°和30°，75°和105°。 将△BCD 沿BD 剪下，B 、D 两点翻转再粘上，形成图形如右。 面积就很好求了： 12 ×15×15＝112.5(平方厘米) 。 【答案】112.5平方厘米。 612、【作业5】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，如果以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，如果以AB 边为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ 【难度级别】★★★☆☆ 【解题思路】设BC ＝a ，AC ＝b ，则 ⎧12 πb a =16π⎪⎪3 ⎨ ⎪1πa 2b =12π⎪⎩3 2 C ⎧ab =48b 4 化简后得⎨2，此方程可解，两式相除得：＝，代入得 a 3⎩a b =36 根据勾股定理，AB ＝5，AB 上的高为： ⎧a =3 。 ⎨⎩b =4 3⨯45 ＝2.4。 所求旋转体的体积为：π⨯2. 4⨯5＝9.6π。 1 2 3 【答案】9.6π。 第5页/共7页 613、【补充2】先做一个边长为2cm 的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm 为半径作弧，形成曲线三角形（如左图）。再准备两个这样的图形，把一个固定住（右图中的阴影），另一个围绕它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动。请问此图形滚动时经过的面积是多少平 方厘米？（π取3.14） 【难度级别】★★★★★ 【解题思路】本题难度较大，圆心变换了6次。 滚动过程以及最终结果，如下图。 B 滚动经过的面积：3×[【答案】25.12。 Liqingzhou 第6页/共7页 1 ⨯π⨯(4-2) +⨯π⨯2]＝8π＝25.12(cm ) 66 2 2 1 22 2013.11.7 第7页/共7页