初中二次函数题

解：（1）∵抛物线y=x^2-2x+m-1与x轴只有一个交点，

∴△=（-2）^2-4×1×（m-1）=0，

解得m=2.

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=x^2-2x+1，易得顶点B（1，0），

当x=0时，y=1，得A（0，1）．

由1=x^2-2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C点坐标为：（2，1）

过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD=1，BD=xD-xB=1

∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC=√2．

同理在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB=√2．

∴∠ABC=180°-∠CBD-∠ABO=90°，AB=BC，

所以△ABC是等腰直角三角形。

（3）由题知，抛物线C′的解析式为y=x^2-2x-3，

当x=0时，y=-3；

当y=0时，x=-1或x=3，

∴E（-1，0），F（0，-3），即OE=1，OF=3．

第一种情况：若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．

∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，

∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P1EM，

则P1M/EM=OE/OF=1/3，即EM=3P1M．

∵EM=x1+1，P1M=y1，

∴x1+1=3y1①

由于P1（x1，y1）在抛物线C′上，

则有3（x1^2-2x1-3）=x1+1，

整理得3x1^2-7x1-10=0，解得，

x1=-1（舍）或x1=10/3．

把x1=10/3代入①中可解得，

y1=13/9．

∴P1（10/3，13/9）．

第二种情况：若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．

同第一种情况，易知Rt△EFO∽Rt△FP2N，

得FN/P2N=OE/OF=1/3，即P2N=3FN．

∵P2N=x2，FN=3+y2，

∴x2=3（3+y2）②

由于P2（x2，y2）在抛物线C′上，

则有x2=3（3+x2^2-2x2-3），

整理得3x2^2-7x2=0，解得x2=0（舍）或x2=7/3．

把x2=7/3代入②中可解得，

y2=-20/9．

∴P2（7/3，-20/9）．

综上所述满足条件的P点的坐标为：（10/3，13/9）或（7/3，-20/9）

这道题目是二次函数的综合运用题目，涉及知识点有求抛物线解析式、抛物线的顶点、三角形相似、抛物线的平移及直角三角形的性质，设计函数、分类讨论等中学重要的数学思想，希望能好好研究，弄懂弄通，对你解综合性大题目很有帮助！

第三步骤比较复杂，不好书写，希望你能看明白，不明白的可以追问或私聊我，我发word版的给你！