高中数学向量数量积的运算律的推导
发表时间：2024-10-18 04:19:10
来源：网友投稿
向量数量积的运算律主要包括分配律、结合律和交换律。以分配律为例，设向量a、b、c，则a·(b+c) = a·b + a·c。推导如下：将向量b和c相加，得到新的向量b+c，再与向量a进行数量积运算，根据定义，有a·(b+c) = |a||b+c|cosθ，其中θ为a与b+c的夹角。由余弦定理有|b+c|^2 = |b|^2 + |c|^2 + 2|b||c|cosα，其中α为b与c的夹角。将|b+c|^2代入上式，得a·(b+c) = |a|√(|b|^2 + |c|^2 + 2|b||c|cosα)cosθ。同理a·b + a·c = |a|√(|b|^2 + |c|^2 + 2|b||c|cosα)cosθ + |a|√(|b|^2 + |c|^2 + 2|b||c|cosα)cosθ = a·(b+c)。所以向量数量积满足分配律。类似地可以推导出结合律和交换律。
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