国外的数学研究生要考什么课程

美国数学本科生，研究生基础课程参考书目第一学年几何与拓扑：1、JamesR.Munkres,Topology：较新的拓扑学的教材适用于本科高年级或研究生一年级；2、BasicTopologybyArmstrong：本科生拓扑学教材；3、Kelley,GeneralTopology：一般拓扑学的经典教材，不过观点较老；4、Willard,GeneralTopology：一般拓扑学新的经典教材；5、GlenBredon,Topologyandgeometry：研究生一年级的拓扑、几何教材；6、IntroductiontoTopologicalManifoldsbyJohnM.Lee：研究生一年级的拓扑、几何教材，是一本新书；7、FromcalculustocohomologybyMadsen：很好的本科生代数拓扑、微分流形教材。代数：1、AbstractAlgebraDummit：最好的本科代数学参考书，标准的研究生一年级代数教材；2、AlgebraLang：标准的研究生一、二年级代数教材，难度很高，适合作参考书；3、AlgebraHungerford：标准的研究生一年级代数教材，适合作参考书；4、AlgebraM,Artin：标准的本科生代数教材；5、AdvancedModernAlgebrabyRotman：较新的研究生代数教材，很全面；6、Algebra：agraduatecoursebyIsaacs：较新的研究生代数教材；7、BasicalgebraVolI&IIbyJacobson：经典的代数学全面参考书，适合研究生参考。分析基础：1、WalterRudin,Principlesofmathematicalanalysis：本科数学分析的标准参考书；2、WalterRudin,Realandcomplexanalysis：标准的研究生一年级分析教材；3、LarsV.Ahlfors,Complexanalysis：本科高年级和研究生一年级经典的复分析教材；4、FunctionsofOneComplexVariableI，J.B.Conway：研究生级别的单变量复分析经典；5、Lang,Complexanalysis：研究生级别的单变量复分析参考书；6、ComplexAnalysisbyEliasM.Stein：较新的研究生级别的单变量复分析教材；7、Lang,RealandFunctionalanalysis：研究生级别的分析参考书；8、Royden,Realanalysis：标准的研究生一年级实分析教材；9、Folland,Realanalysis：标准的研究生一年级实分析教材。第二学年代数：1、Commutativeringtheory,byH.Matsumura：较新的研究生交换代数标准教材；2、CommutativeAlgebraI&IIbyOscarZariski,PierreSamuel：经典的交换代数参考书；3、AnintroductiontoCommutativeAlgebrabyAtiyah：标准的交换代数入门教材；4、Anintroductiontohomologicalalgebra,byweibel：较新的研究生二年级同调代数教材；5、ACourseinHomologicalAlgebrabyP.J.Hilton,U.Stammbach：经典全面的同调代数参考书；6、HomologicalAlgebrabyCartan：经典的同调代数参考书；7、MethodsofHomologicalAlgebrabySergeiI.Gelfand,YuriI.Manin：高级、经典的同调代数参考书；8、HomologybySaundersMacLane：经典的同调代数系统介绍；9、CommutativeAlgebrawithaviewtowardAlgebraicGeometrybyEisenbud：高级的代数几何、交换代数的参考书，最新的交换代数全面参考。代数拓扑：1、AlgebraicTopology,A.Hatcher：最新的研究生代数拓扑标准教材；2、Spaniers“AlgebraicTopology”：经典的代数拓扑参考书；3、Differentialformsinalgebraictopology,byRaoulBottandLoringW.Tu：研究生代数拓扑标准教材；4、Massey,AbasiccourseinAlgebraictopology：经典的研究生代数拓扑教材；5、Fulton,Algebraictopology：afirstcourse：很好本科生高年级和研究生一年级的代数拓扑参考书；6、GlenBredon,Topologyandgeometry：标准的研究生代数拓扑教材，有相当篇幅讲述光滑流形；7、AlgebraicTopologyHomologyandHomotopy：高级、经典的代数拓扑参考书；8、AConciseCourseinAlgebraicTopologybyJ.P.May：研究生代数拓扑的入门教材，覆盖范围较广；9、ElementsofHomotopyTheorybyG.W.Whitehead：高级、经典的代数拓扑参考书。实分析、泛函分析：1、Royden,Realanalysis：标准研究生分析教材；2、WalterRudin,Realandcomplexanalysis：标准研究生分析教材；3、Halmos，”MeasureTheory”：经典的研究生实分析教材，适合作参考书；4、WalterRudin,Functionalanalysis：标准的研究生泛函分析教材；5、Conway,AcourseofFunctionalanalysis：标准的研究生泛函分析教材；6、Folland,Realanalysis：标准研究生实分析教材；7、FunctionalAnalysisbyLax：高级的研究生泛函分析教材；8、FunctionalAnalysisbyYoshida：高级的研究生泛函分析参考书；9、MeasureTheory,DonaldL.Cohn：经典的测度论参考书。微分拓扑李群、李代数1、Hirsch,Differentialtopology：标准的研究生微分拓扑教材，有相当难度；2、Lang,DifferentialandRiemannianmanifolds：研究生微分流形的参考书，难度较高；3、Warner,FoundationsofDifferentiablemanifoldsandLiegroups：标准研究生微分流形教材，有相当的篇幅讲述李群；4、Representationtheory:afirstcourse,byW.FultonandJ.Harris：李群及其表示论标准教材；5、Liegroupsandalgebraicgroups,byA.L.Onishchik,E.B.Vinberg：李群的参考书；6、LecturesonLieGroupsW.Y.Hsiang：李群的参考书；7、IntroductiontoSmoothManifoldsbyJohnM.Lee：较新的关于光滑流形的标准教材；8、LieGroups,LieAlgebras,andTheirRepresentationbyV.S.Varadarajan：最重要的李群、李代数参考书；9、Humphreys,IntroductiontoLieAlgebrasandRepresentationTheory,SpringerVerlag,GTM9：标准的李代数入门教材。第三学年微分几何：1、PeterPetersen,RiemannianGeometry：标准的黎曼几何教材；2、RiemannianManifolds:AnIntroductiontoCurvaturebyJohnM.Lee：最新的黎曼几何教材；3、doCarmo,RiemannianGeometry.：标准的黎曼几何教材；4、M.Spivak,AComprehensiveIntroductiontoDifferentialGeometryI—V：全面的微分几何经典，适合作参考书；5、Helgason,DifferentialGeometry,Liegroups,andsymmetricspaces：标准的微分几何教材；6、Lang,FundamentalsofDifferentialGeometry：最新的微分几何教材，很适合作参考书；7、kobayashi/nomizu,FoundationsofDifferentialGeometry：经典的微分几何参考书；8、Boothby,IntroductiontoDifferentiablemanifoldsandRiemannianGeometry：标准的微分几何入门教材，主要讲述微分流形；9、RiemannianGeometryI.Chavel：经典的黎曼几何参考书；10、Dubrovin,Fomenko,Novikov“Moderngeometry-methodsandapplications”Vol1—3：经典的现代几何学参考书。代数几何：1、Harris,AlgebraicGeometry:afirstcourse：代数几何的入门教材；2、AlgebraicGeometryRobinHartshorne：经典的代数几何教材，难度很高；3、BasicAlgebraicGeometry1&22nded.I.R.Shafarevich.：非常好的代数几何入门教材；4、PrinciplesofAlgebraicGeometrybygiffiths/harris：全面、经典的代数几何参考书，偏复代数几何；5、CommutativeAlgebrawithaviewtowardAlgebraicGeometrybyEisenbud：高级的代数几何、交换代数的参考书，最新的交换代数全面参考；6、TheGeometryofSchemesbyEisenbud：很好的研究生代数几何入门教材；7、TheRedBookofVarietiesandSchemesbyMumford：标准的研究生代数几何入门教材；8、AlgebraicGeometryI:ComplexProjectiveVarietiesbyDavidMumford：复代数几何的经典。调和分析偏微分方程1、AnIntroductiontoHarmonicAnalysis,ThirdEditionYitzhakKatznelson：调和分析的标准教材，很经典；2、Evans,Partialdifferentialequations：偏微分方程的经典教材；3、Aleksei.A.Dezin，Partialdifferentialequations，Springer-Verlag：偏微分方程的参考书；4、L.Hormander“LinearPartialDifferentialOperators,”I&II：偏微分方程的经典参考书；5、ACourseinAbstractHarmonicAnalysisbyFolland：高级的研究生调和分析教材；6、AbstractHarmonicAnalysisbyRossHewitt：抽象调和分析的经典参考书；7、HarmonicAnalysisbyEliasM.Stein：标准的研究生调和分析教材；8、EllipticPartialDifferentialEquationsofSecondOrderbyDavidGilbarg：偏微分方程的经典参考书；9、PartialDifferentialEquations，byJeffreyRauch：标准的研究生偏微分方程教材。复分析多复分析导论1、FunctionsofOneComplexVariableII，J.B.Conway：单复变的经典教材，第二卷较深入；2、LecturesonRiemannSurfacesO.Forster：黎曼曲面的参考书；3、CompactriemannsurfacesJost：黎曼曲面的参考书；4、CompactriemannsurfacesNarasimhan：黎曼曲面的参考书；5、Hormander”AnintroductiontoComplexAnalysisinSeveralVariables”：多复变的标准入门教材；6、Riemannsurfaces,Lang：黎曼曲面的参考书；7、RiemannSurfacesbyHershelM.Farkas：标准的研究生黎曼曲面教材；8、FunctionTheoryofSeveralComplexVariablesbyStevenG.Krantz：高级的研究生多复变参考书；9、ComplexAnalysis:TheGeometricViewpointbyStevenG.Krantz：高级的研究生复分析参考书。专业方向选修课：1、多复分析；2、复几何；3、几何分析；4、抽象调和分析；5、代数几何；6、代数数论；7、微分几何；8、代数群、李代数与量子群；9、泛函分析与算子代数；10、数学物理；11、概率理论；12、动力系统与遍历理论；13、泛代数。数学基础：1、halmos,nativesettheory；2、fraenkel,abstractsettheory；3、ebbinghaus,mathematicallogic；4、enderton,amathematicalintroductiontologic；5、landau,foundationsofanalysis；6、maclane,categoriesforworkingmathematican。应该在核心课程学习的过程中穿插选修假设本科应有的水平分析：WalterRudin,Principlesofmathematicalanalysis；Apostol,mathematicalanalysis；M.spivak,calculusonmanifolds；Munkres,analysisonmanifolds；Kolmogorov/fomin,introductoryrealanalysis；Arnold,ordinarydifferentialequations。代数：linearalgebrabyStephenH.Friedberg；linearalgebrabyhoffman；linearalgebradonerightbyAxler；advancedlinearalgebrabyRoman；algebra,artin；afirstcourseinabstractalgebrabyrotman。几何：docarmo,differentialgeometryofcurvesandsurfaces；DifferentialtopologybyPollack；Hilbert,foundationsofgeometry；JamesR.Munkres,Topology。