考研高等数学
发表时间：2024-07-11 08:22:39
来源：网友投稿
令π/4-x=t,则dx=-dt
积分限：x=0,t=π/4;x=π/4,t=0
原式=∫(0,π/4)(π/4-t)dt/[costcos(π/4-t)]
=∫(0,π/4)π/4dt/[costcos(π/4-t)]-∫(0,π/4)tdt/[costcos(π/4-t)]
因为不同的变量并不会影响最终积分值，所以：
∫(0,π/4)tdt/[costcos(π/4-t)]=∫(0,π/4)xdx/[cosxcos(π/4-x)]
则：∫(0,π/4)xdx/[cosxcos(π/4-x)]=1/2∫(0,π/4)π/4dt/[costcos(π/4-t)]
而∫(0,π/4)π/4dt/[costcos(π/4-t)]
=∫(0,π/4)π/4dt/[costcosπ/4cost+sinπ/4sint]
=√2π/4∫(0,π/4)dt/[cost(cost+sint)]
=√2π/4∫(0,π/4)d(tant)/(1+tant)
=√2π/4ln(1+tant)|(0,π/4)
=√2πln2/4
则：∫(0,π/4)xdx/[cosxcos(π/4-x)]=√2πln2/8
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