考研数学求极限这道题怎么做
发表时间：2024-07-12 15:03:09
来源：网友投稿
x->0
分子
√(1+x^2)=1+(1/2)x^2+o(x^2)
x+√(1+x^2)=1+x+(1/2)x^2+o(x^2)
ln[x+√(1+x^2)]
=ln[1+x+(1/2)x^2+o(x^2)]
=[x+(1/2)x^2]-(1/2)[x+(1/2)x^2]^2+o(x^2)
=[x+(1/2)x^2]-(1/2)[x^2+o(x^2)]+o(x^2)
=x+o(x^2)
ln(1+x)=x-(1/2)x^2+o(x^2)
ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]=-(1/2)x^2+o(x^2)
分母
ln(x+√(1+x^2))=ln(1+x+o(x))=x+o(x)
ln(1+x)=x+o(x)
ln(1+x).ln(x+√(1+x^2))=x^2+o(x^2)
//
lim(x->0)[1/ln(x+√(1+x^2))-1/ln(1+x)]
=lim(x->0)[ln(1+x)-ln(x+√(1+x^2))]/[ln(x+√(1+x^2)).ln(1+x)]
=lim(x->0)-(1/2)x^2/x^2
=-1/2
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