考研数学中值定理证明该怎么学

中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，下面分享考研数学中值定理证明思路，希望可以帮助大家。

一、具体考点分析

首先我们必须弄清楚这块证明需要的理论基础是什么，相当于我们的工具，那需要哪些工具呢?

第一：闭区间连续函数的性质。

最值定理：闭区间连续函数的必有最大值和最小值。

推论：有界性(闭区间连续函数必有界)。

介值定理：闭区间连续函数在最大值和最小值之间中任意一个数，都可以在区间上找到一点，使得这一点的函数值与之相对应。

零点定理：闭区间连续函数，区间端点函数值符号相异，则区间内必有一点函数值为零。

第二：微分中值定理(一个引理，三个定理)

费马引理：函数f(x)在点ξ的某邻域U(ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的xU(ξ)，都有f(x)≤f(ξ)(或f(x)≥f(ξ))，那么f'(ξ)=0。

罗尔定理：如果函数f(x)满足：

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导;

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ，使得f?(ξ)=0.

几何上罗尔定理的条件表示，曲线弧(方程为)是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明：

弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的。

拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：

(1)在闭区间[a,b]上连续;

(2)在开区间(a,b)内可导;

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ

加强版：如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，则在(a,b)上至少存在一个点ξ，使下式成立

第四：变限积分求导定理：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：

第五：牛顿--莱布尼茨公式：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且存在原函数F(x)，则

以上定理要求理解并掌握定理内容和相应证明过程。

二、注意事项

针对上文中具体的考点，佟老师再给出几点注意事项，这几个注意事项也是在证明题中的小信号，希望大家理解清楚并掌握：

1.所有定理中只有介值定理和积分中值定理中的ξ所属区间是闭区间。

2.拉格朗日中值定理是函数f(x)与导函数f'(x)之间的桥梁。

3.积分中值定理是定积分与函数之间的桥梁。

4.罗尔定理和拉格朗日中值定理处理的对象是一个函数，而柯西中值定理处理的对象是两个函数，如果结论中有两个函数，形式与柯西中值定理的形式类似，这时就要想到我们的柯西中值定理。

5.积分中值定理的加强版若在定理证明中应用，必须先证明。

其次对于中值定理证明一般分为两大类题型：第一应用罗尔定理证明，也可又分为两小类：证明结论简单型和复杂型，简单型一般有证明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k(k为任意常数)，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，

像这样的结论一般只需要找罗尔定理的条件就可以了，一般罗尔定理的前两个条件题目均告知，只是要需找两个不同点的函数值相等，需找此条件一般会运用闭区间连续函数的性质、积分中值定理、拉格朗日中值定理、极限的性质、导数的定义等知识点。复杂型就是结论比较复杂，需要建立辅助函数，再使辅助函数满足罗尔定理的条件。辅助函数的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在两个点使之满足某表达式。这样的题目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，处理思想把结论中相同字母放到等是一侧首先处理。

更多关于考研数学的内容请点击启道教育网考研数学。