常用经典小波的特性研究:小波特性

　　摘　要：小波是在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数，小波函数决定了小波变换的效率和效果。小波函数可以灵活选择，并且可以根据所面对的问题构造小波函数。通过对几种常见连续小波的数学表达式及其相应波形和振幅谱的分析研究，解释了它们的主要特性。

　　关键词：小波函数　Haar小波　Morlet小波　Marr小波　高斯小波

　　中图分类号：O174　　　　文献标识码：A　　　　　文章编号：1007-3973（2012）007-111-02

　　1引言

　　随着石油天然气日益增长的需求与发展，对油气勘探提出了更高的要求，地震勘探是油气勘探的主要方法之一。长期以来在地震资料处理中，付里叶变换是最基本的工具，通过付氏变换，把时间域与频率域联系起来，通过信号的频谱特性来研究时域内难以研究的问题，但它的缺陷在于无法分析时域信号的局部频率特征信息，不具有时频局部化的能力。小波变换很好的弥补了付氏变换的不足。小波变换研究信号的局部特征，在时间、频率两域都具有表征信号局部特征的能力，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以小波变换被称为分析信号的显微镜。

　　小波函数决定了小波变换的效率和效果。根据要从信号中提取的信息不同，应恰当地选择或构造小波函数。要准确的进行小波变换，选择最优的小波函数是非常必须且非常重要的，故小波函数特性的分析是最基本但最重要的研究，了解和掌握了小波函数的特性我们才能进行小波分析与变换。

　　2几种连续小波的特点

　　2.1小波函数

　　连续小波变换CWT定义为

　　其中系列函数

　　称为小波函数或简称小波，它是由函数�%q(t)经过不同的时间尺度伸缩和不同的时间平移得到的。其中a是时间轴尺度伸缩因子，b是时间平移因子，系数|a|-1/2是归一化因子，它的引入是为了让不同尺度的小波能保持相等的能量。

　　2.2Haar小波

　　Haar小波可以说是所有已知小波中最简单的小波。

　　Haar小波：源自于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是：

　　Haar函数是在小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数。Haar小波是对称的，是目前唯一一个既具有对称性又是有限支撑的正交小波。对于一维Haar小波可以看成是完成了差分运算，即给出与观测结果的平均值不相等的部分的差。它是非连续的，类似一个阶梯函数。由于Haar小波的不连续性，使其在实际的信号分析与处理中受到了一定的限制。

　　2.3Morlet小波

　　Morlet小波是一种单频复正弦调制高斯波，其定义如下：

　　通常，�%r≥5，�%r=5的情况用的最多。

　　Morlet小波是一种复数小波，其在时、频域都有很好的局部性，常用于复数信号的分解及时频分析中。Morlet小波不存在尺度函数，快速衰减但非紧支撑。它是对称的但非正交，用于连续小波变换，是一种应用较为广泛的小波函数。其时间域分实部与虚部。

　　2.4高斯小波

　　高斯小波是高斯函数的一阶导数，其定义如下：

　　高斯小波是由一基本高斯函数对时间求导而得的，其为指数级衰减，非紧支撑且非正交的小波函数；具有非常好的时间频率局部化；关于Y轴反对称。高斯小波在信号与图像的边缘提取中具有重要的应用。主要应用于阶梯型边界的提取。

　　2.5Marr小波

　　Marr小波的形状像墨西哥草帽，所以也叫墨西哥草帽小波。Marr小波在视觉信息加工研究和边缘检测方面获得了较多的应用，它实际上市高斯函数的二阶导数。其定义为：

　　这是高斯函数的二阶导数，其在时、频域都有很好的局部性。高斯小波为指数级衰减，非紧支撑且非正交的函数，其关于Y轴对称，用于连续小波变换。在信号与图像的边缘提取中具有重要的应用，主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。

　　2.6小波函数的比较

　　3小波函数的选择

　　在理论上，选择和构造一个小波函数要求其具有一定的平滑性、紧支撑性、对称性和消失矩阶数等。

　　(1)小波形状的选择。

　　如果进行时频分析，则要选择光滑的连续小波，因为时域越光滑的小波函数，在频域的局部化特性越好。如果进行信号检测，则应尽量选择与信号波形相近似的小波。

　　(2)连续小波的支撑区域的选择。

　　连续小波函数都在支撑区域之外快速衰减。支撑区域越长，频率分辨率越好；支撑区域越短，时间分辨率越好。

　　针对地震信号的特点，利用小波分析后重构信号和原始信号的误差大小来判定小波函数的优劣，并考虑到消失矩阶数，最终选定适用最优小波。

　　4结束语

　　尽管小波分析在地震信号处理中有着广泛的应用，但是不同的小波具有不同的时间频率特性，用不同的小波对同一信号进行分析也会得到不同的结果。要从地震信号中提取不同的信息，应选用不同的小波函数。

　　由以上分析可知，几种经典小波各具有不同的特点和解析表达式，在进行地震资料处理与解释时，应根据不同的需要选择合适的小波函数。

　　参考文献：

　　[1]　王西文.地震资料处理和解释中的小波分析方法[M].北京:石油工业出版社,2004.

　　[2]　陈玉东.地球物理信息处理基础[M].北京:地质出版社,2006.

　　[3]　张华,陈小宏,杨海燕.地震信号去噪的最优小波基选取方法[J].石油地球物理勘探,2011,46(1):70-75.

　　[4]　焦叙明.时频分析及其在地震资料处理分析中的应用[D].青岛:中国海洋大学,2007.