考研数学证明题看上去很简单就是不会
发表时间：2024-09-08 15:59:08
来源：网友投稿
证：∵f在[0,1]上可导故连续函数的最值定理可知
函数|f(x)|在[0,1]存一个最大值点m若m=0,则命题成立
所以当m∈(0,1]时，
反证法假设|f(m)|>0
∴在[0,m]上应用拉格朗日中值定理可得
f(m)-f(0)=f'(n)(m-0)n∈(0,m)
∵f(0)=0∴f(m)=f'(n)m
∵|f'(x)|≤|f(x)|∴|f(m)|=|f'(n)m|≤|f(n)|m<|f(n)|
这与假设矛盾所以|f(m)|=0
所以f(x)=0
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