图像小波变换(图像小波变换去噪)

一维，二维小波变换过程是怎样的

1,一维小波变换可以对图像进行处理和分解；2，确定1成立，一维小波分析总体上时离散的，串行的；二维小波分析总体上是非离散的，并行的；3，确定1成立，由2所述可知，在计算机计算能力许可前提下，后者速度高于前者，效果优于前者。附带说几句：目前基于小波变换的相关图像处理技术已经从军事、天气、地理逐渐过渡到医学、生物学等方面，在软件发展的情况下，硬件也有了对应的发展，很多算法都已经固化在硬件里或者由硬件直接完成了。

如何对载体图像进行三级小波变换

对于通常的二维DWT（可分离小波,绝大多数二维DWT都是可分离的小波变换方式）,使用的是一维DWT然后用张量积（不可分小波不使用张量积）的方式计算,既然是根据一维DWT而来,所以就是对二维数据在行或列上做一维DWT,然后按照一定的法则取出变换后的行或列上的小波系数（45度方向因为在垂直和水平方向是对等的所以也很容易得到）.

既然知道基本原理,那么水平方向的子图将突出图像中水平方向的信息（相当于列向上做DWT,得到行向水平方向的变化信息）,减弱或消除垂直方向的信息.垂直方向的子图将突出图像中垂直方向的信息,弱化水平方向的信息.45度方向将加强图像中斜向的信息.这三个方向子图的叠加就是DWT的细节信息,将会反应所有方向的高频信息.通常研究中是希望不要这种反应所有方向的高频信息的,因为混到一起反而使某些方向的信息不宜提取,所以才搞成三个方向的,有些复小波变换甚至搞到6个方向,这都是为了易于提取信息而搞的方法罢了.在有些行当里这玩意儿的意图相当于方向滤波,就是为了突出某些方向上的信息而研究出来的.

图像增强 小波变换

你的这个程序给的很少。注释也不是很详细。所以不是很好从代码程序的角度来解释程序的用意。

所以我只好从数学角度来试着解释。可能有所不足。但也是无奈之举。

首先先说一下啥是小波分解吧。

我默认你已经知道，并学习过傅里叶变换。

简单用几句话来说。

傅里叶变换是利用sin，cos这种函数，无限长周期函数为基，进行变换分解。

后来有个人找到了一个有限长的函数作为基，来进行变换，可以分解出很多个小波。这样有很多优势。我也就不赘述了。

知道了小波变换在干吗之后，再说图像增强，图像增强从某种程度上来说，可以说成是去噪。当然这并不严谨。或者从某些角度来说可能不对。但我现在就认为他是去噪。

所以呢

把包含图像信息的信号，进行小波变换，分解成多个子带信号，接着将主要成分是噪声的子带信号系数置零，对主要成分是有效图像的子带信号系数保留并增强，最后就可以得到增强的图像。

至于如何区分主要成分是噪声的子带信号，还是有效图像的子带信号，就是依靠阈值这个东西来控制的。你甚至可以直接给个数，也可以通过某些式子进行计算。

希望可以对你有所帮助。

小波变换

傅里叶变换的不足：

想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析。

一个简单可行的方法就是——加窗。 把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。

使用STFT存在一个问题，我们应该用多宽的窗函数？

窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。

用窄窗，时频图在时间轴上分辨率很高，几个峰基本成矩形，而用宽窗则变成了绵延的矮山。但是频率轴上，窄窗明显不如下边两个宽窗精确。

高频适合小窗口，低频适合大窗口。 然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中宽度不会变化，所以STFT还是无法满足非稳态信号变化的频率的需求。

频域中提取的特征主要有：FFT系数、熵、能谱密度、功率下降率（Power Decline Rate，PDR）等。

小波函数定义为

其中 是缩放因子，控制小波函数的伸缩； 是平移参数，控制小波函数的平移。缩放因子对应频率，平移参数对应时间。

在缩放因子为 的子空间的投影为

其中小波系数为

代表复共轭。

为了更直观地理解小波变换，先引入 Parseval 定理：

从上式不难看出，只有当小波中心频率与原始信号固有频率接近的时候，小波系数才会取得极大值。因此，小波可以看作是一个只允许频率和小波中心频率相近的信号通过的带通滤波器。通过缩放因子可以得到一系列不同的中心频率，通过平移系数则可以检测时域上不同位置的信号。这样就得到了原信号在各个时间点包含的频率信息。

STFT是给信号加窗，分段做FFT；而小波直接把傅里叶变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了

傅里叶变换把无限长的三角函数作为基函数：

基函数会伸缩、会平移（其实本质并非平移，而是两个正交基的分解）。缩得窄，对应高频；伸得宽，对应低频。然后这个基函数不断和信号做相乘。

某一个尺度（宽窄）下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。于是，基函数会在某些尺度下，与信号相乘得到一个很大的值，因为此时二者有一种重合关系。那么我们就知道信号包含该频率的成分的多少。这两种尺度能乘出一个大的值（相关度高），所以信号包含较多的这两个频率成分，在频谱上这两个频率会出现两个峰。

小波做的改变就在于，将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。

对于突变信号，傅里叶变换存在吉布斯效应，我们用无限长的三角函数怎么也拟合不好突变信号：

尺度函数 ： scaling function （在一些文档中又称为父函数 father wavelet ）

小波函数 ： wavelet function（在一些文档中又称为母函数 mother wavelet）

连续的小波变换 ：CWT

离散的小波变换 ：DWT

不同的小波基函数，是由同一个基本小波函数经缩放和平移生成的。

小波变换是将原始图像与小波基函数以及尺度函数进行内积运算,所以一个尺度函数和一个小波基函数就可以确定一个小波变换

连续小波变换

cwt(data, scales, wavelet, sampling_period=1.)

离散小波变换

pywt.dwt(data, wavelet, mode=’symmetric’, axes=-1)

经过小波变换后图像会生成低频信息和高频信息。低频信息对应于求均值，高频信息对应于求差值。

均值是局部的平均值，变化缓慢，属于低频信息，存储图片的轮廓信息，近似信息

差值是局部的波动值，变化较快，属于高频信息，存储图片的细节信息，局部信息，另外含有噪音

是高通滤波器，允许高频信息通过 是低通滤波器，允许低频信息通过

在拼接子图之前，应该先对各个子图进行处理。未处理的情况下，因为高频部分的像素值极小甚至小于0，所以高频区域呈黑色。最简单的处理方式为：将高频信息均加255，得到如下结果：

阈值函数 pywt.threshold (data, value, mode=, substitute=)

信号产生的小波系数含有信号的重要信息，将信号经小波分解后小波系数较大，噪声的小波系数较小，并且噪声的小波系数要小于信号的小波系数，通过选取一个合适的阀值，大于阀值的小波系数被认为是有信号产生的，应予以保留，小于阀值的则认为是噪声产生的，置为零从而达到去噪的目的。

小波阀值去噪的基本问题包括三个方面： 小波基的选择，阀值的选择，阀值函数的选择。

(1) 小波基的选择：通常我们希望所选取的小波满足以下条件：正交性、高消失矩、紧支性、对称性或反对称性。但事实上具有上述性质的小波是不可能存在的，因为小波是对称或反对称的只有Haar小波，并且高消失矩与紧支性是一对矛盾，所以在应用的时候一般选取具有紧支的小波以及根据信号的特征来选取较为合适的小波。

(2) 阀值的选择：直接影响去噪效果的一个重要因素就是阀值的选取，不同的阀值选取将有不同的去噪效果。目前主要有通用阀值(VisuShrink)、SureShrink阀值、Minimax阀值、BayesShrink阀值等。

(3) 阀值函数的选择：阀值函数是修正小波系数的规则，不同的反之函数体现了不同的处理小波系数的策略。最常用的阀值函数有两种：一种是硬阀值函数，另一种是软阀值函数。还有一种介于软、硬阀值函数之间的Garrote函数。

另外，对于去噪效果好坏的评价，常用信号的信噪比(SNR)与估计信号同原始信号的均方根误差(RMSE)来判断。

可以看到API给出了很多小波族，每个小波族又有很多系数可供我们去选择， “相同类的统计特征相近，不同类的统计特征相差很大” ，来挑选小波基函数。

多尺度小波变换一般是3~4层，但是要注意的是，如果实践中所用的图片太小，或者纹理并不丰富，其实用单层的小波变换就足够了。如果你用多层的小波变换，Pywalvets 仍只会返回给你一层变换的结果，因为信息量过小导致不能采样来进一步进行变换。

小波是如何对图像进行变换的？

图像可以看作二维矩阵，假设图像矩阵的大小为N×N，具有N=2n，那么每次小波变换后的图像就分解为4个大小为原来尺寸的1／4的子块频带区域。每一子块频带区域包含了相应的小波系数，相当于在水平方向和竖直方向上进行隔点采样。进行下一次小波变换时，变换数据集中在LL频带上。