相似三角形的性质推导（相似三角形的性质公式）

相似三角形面积比和边长比的关系是怎么样的？

1、相似三角形的面积比等于边长比的平方。

设小三角形的面积为s，底长为a高为h，则小三角形的面积为s=1/2ab。

设大三角形的面积为S，底长为ka高为kh，则大三角形的面积为S=1/2*ka*kb=1/2*k2ab。

S/s=(k2ab)/(ab)=k2。

2、三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形(similartriangles)。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

相似三角形的判定定理的证明过程

相似三角形的判定定理的证明过程如下:

相似三角形定理

平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似(ASA)

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比

性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方

证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

相似三角形面积比和周长比有什么关系

相似三角形的面积比等于周长比的平方。

相似三角形的周长比=相似比；

相似三角形的面积比=相似比的平方；

所以，相似三角形的面积比等于周长比的平方。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

扩展资料

相似三角形的性质：

1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例。

2. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

3. 相似三角形周长的比等于相似比。

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5. 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方

6. 若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项

7. a/b=c/d等同于ad=bc.

谁能告诉我相似三角形中的几大定理 最好有推导过程

（一）、成比例线段

1、设a、b、c、d为线段,如果a:b=c:d,b、c叫比例内项,a、d叫比例外项,d叫做a、b、c的第四比例项；

如果a:b=b:c,或b2=ac,那么b叫a、c的比例中项.

2、比例的性质

基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc.

合比性质：

等比性质：如果,那么

3、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例.

平行于三角形一边的直线截三角形的其他两边所得的线段对应成比例.反之,如果一条直线截三角形的两边所得的线段对应成比例,那么这条直线平行于第三边.

例 1、（1）已知三个数x、y、z满足,求k的值.

（2）已知,且b±2d＋3f－4≠0,

求的值.

例2、已知,如图,D是AC上一点,F为CB的延长线上一点,AD=BF,DF交AB于点E.求证：DE：EF=BC：AC.

（二）、相似三角形

1、相似三角形的有关概念

（1）相似三角形：对应角相等,对应边成比例的两个三角形是相似三角形.

（2）相似比：相似三角形对应边的比.

2、平行于三角形一边的定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.

3、三角形相似的判定

（1）两角对应相等,两三角形相似.

（2）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.

（3）三边对应成比例,两三角形相似.

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,

那么这两个直角三角形相似.

4、相似三角形的性质

（1）相似三角形对应角相等,对应边成比例.

（2）相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

（3）相似三角形周长的比等于相似比.

例3、已知：如图,M为正方形ABCD的边AB上一点,BP⊥CM于点P,N是BC上一点,PD⊥PN.

求证：BM=BN.

例4、已知,如图,E是四边形ABCD内一点,∠BAE=∠BDC,∠ABE=∠DBC.求证：AB·CE=BE·AD.

三、难点归纳与讲解

（一）、直角三角形相似的判定定理及用其解决有关证明和计算问题.

（二）、运用相似三角形的判定定理解决有关几何问题及探索性命题.

例5、已知,如图∠ACB=∠ABD=90°,AB=m,AC=n.

（1）当AD与m、n之间满足怎样的关系时,△ABC∽△DAB？

（2）当AD与m、n之间满足怎样的关系时,△ABC∽△ADB？

（3）当AD与m、n之间满足怎样的关系时,△ABC与△ABD相似？