一道二重积分的问题
发表时间：2024-07-07 02:40:58
来源：网友投稿
只要知道关于对称性的结论即可，设D=D1+D2，如果D1和D2关于x轴对称，被积函数f(x,y)是关于y的奇函数，那么在D上的二重积分∫∫f(x,y)dxdy=0，如果f(x,y)是关于y的偶函数，那么在D上的二重积分∫∫f(x,y)dxdy=2倍的在D1（或D2）上的二重积分。D关于y轴对称时也有类似结论。现在看本题先看D上∫∫xydxdy，由于xy是关于x的奇函数，D1和D2关于y轴对称，故D1+D2上的积分等于0，同理xy是关于y的奇函数，D3和D4关于x轴对称，所以D3+D4上的积分也等于0，也就是D上的∫∫xydxdy=0，再看∫∫cosxsinydxdy，cosxsiny是关于y的奇函数，故在D3+D4上积分为0，而cosxsiny又是关于x的偶函数，所以积分=2倍的在D1上的积分。
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