各省中考数学最后2题

2008年华中各省中考数学几何题（2）

2008年华中各省中考数学几何解答题【厦门学子分类】

（08河南省卷18题）18．（9分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接

BQ、CP，则BQ=CP．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．

（08河南省卷20题）20．（9分）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，

∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

（08河南省卷21题）21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形．求点C的坐标．

（08湖南长沙19题）19、在下面的格点图中，每个小正方形的边长均为1个单位，请按下列要求画出图形：

（1）画出图①中阴影部分关于O点的中心对称图形；

（2）画出图②中阴影部分向右平移9个单位后的图形；

（3）画出图③中阴影部分关于直线AB的轴对称图形.

（图①）（图②）（图③）

（08湖南长沙19题解答）图略（“2008”字样），三部分图形各2分，共6分．

（08湖南长沙24题）24、（本题满分8分）如图，在□ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点.

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积.

（08湖南长沙24题解答）(1)证明略；（4分）

(2)当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形，（6分）

四边形ABCD的高为，（7分）

∴菱形AECF的面积为2．（8分）

（08湖南常德21题）21．如图4，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，

求证：PC是⊙O的切线．

（08湖南常德21题解答）证明：连接OC，

∵PA⊥AB，∴∠PA0=900，…………1分

∵PO过AC的中点M，OA=OC，

∴PO平分∠AOC，

∴∠AOP=∠COP.……………………3分

∴在△PAO与△PCO中有

OA=OC，∠AOP=∠COP，PO=PO,

∴△PAO≌△PCO,……………6分

∴∠PCO=∠PA0=900,

即PC是⊙O的切线．……………7分

（08湖南常德23题）23．如图7，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．

（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？

（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．

解（1）

（08湖南常德23题解答）解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：

①②，①③，①④，②③，②④，③④……………2分

其中有两组（①③，②④）是相似的．

∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=…………4分

（2）证明：选择①、③证明．

在△AOB与△COD中,∵AB‖CD,

∴∠CDB＝∠DBA,∠DCA＝∠CAB,

∴△AOB∽△COD……………………………………………8分

选择②、④证明.

∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB＝∠CAB,

∴在△DAB与△CBA中有

AD=BC,∠DAB＝∠CAB,AB=AB,

∴△DAB≌△CBA,…………………………………………6分

∴∠ADO＝∠BCO.

又∠DOA＝∠COB,∴△DOA∽△COB………………………8分

（08湖南常德26题）26．如图9，在直线上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列问题：

（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转900，请你在图中作出旋转后的对应图形

△A1B1C，并求出AB1的长度；

（2）翻折：将△A1B1C沿过点B1且与直线垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形

△A2B1C1，试判定四边形A2B1DE的形状？并说明理由；

（3）平移：将△A2B1C1沿直线向右平移至△A3B2C2，若设平移的距离为x，△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时,x的值是多少？

（08湖南常德26题解答）

解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=，

∴AB1=AC+CB1=AC+CB=.……………………………………2分

(2)四边形A2B1DE为平行四边形.理由如下：

∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1‖DE

又A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故结论成立.………………4分

（3）由题意可知：

S△ABC=，

①当或时，y＝0

此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半……………5分

②当时，直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=（x－2）㎝，则y＝,

当y=S△ABC=时，即，

解得（舍）或.

∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.

③当时，△A3B2C2完全与等腰梯形重叠，即……………7分

④当时,B2G=B2C2-GC2=2－(－8)=10-

则y＝,

当y=S△ABC=时，即，

解得,或(舍去).

∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………9分

由以上讨论知,当或时,重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………10分

（08湖南郴州21题）21．作图题：

如图6，先将ΔABC向下平移4个单位得到，再以直线l为对称轴将作轴反射得到，请在所给的方格纸中依次作出和．

（08湖南郴州21题解答）正确作出图形，每个3分（图略）6分

（08湖南郴州22题）22．汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为，B村的俯角为（．如图7）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据）

（08湖南郴州22题解答）．解：根据题意得:，

所以所以

所以AB=PB3分

在中，PC=450，

所以PB=5分

所以(米)

答：略．6分

（08湖南郴州24题）24．如图8，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．

（08湖南郴州24题解答）四边形ABCD为菱形2分

理由是：

由翻折得△ABC≌△DBC．所以4分

因为△ABC为等腰三角形，

所以

所以AC＝CD＝AB＝BD，7分

故四边形ABCD为菱形8分

注：如果学生只答四边形ABCD为平行四边形给1分，说理正确，给5分，共6分．

（08湖南怀化24题）24．（本题满分7分）

如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．

求证：（1）；

（2）

（08湖南怀化24题解答）证明：（1）四边形和四边形都是正方形

3分

4分

（2）由（1）得

7分

∴AMN∽CDN6分

（08湖南怀化25题）25．(本题满分7分)

如图11，已知△的面积为3，且AB=AC，现将△沿CA方向平移CA长度得到△．

（1）求四边形CEFB的面积；

（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；

（3）若，求AC的长．

（08湖南怀化25题解答）解：（1）由平移的性质得

．3分

（2）．证明如下：由（1）知四边形为平行四边形

5分

（08湖南怀化26题）26．(本题满分7分)

某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图12所示，，斜坡长，坡度．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．

（1）求改造前坡B到地面的垂直距离的长；

（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到处，问至少是多少米？

（08湖南怀化26题解答）

（08湖南湘潭18题）18.（本题满分6分）

如图方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点在格点上，点B的坐标为（5，－4），请你作出，使与ABC关于y轴对称，并写出的坐标.

（08湖南湘潭18题解答）作图（略）4分

点的坐标为（-5，-4）6分

（08湖南湘潭20题）20.（本题满分6分）

如图四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F.

（1）猜想：AD与CF的大小关系；

（2）请证明上面的结论.

（08湖南湘潭20题解答）解：（1）．2分

（2）四边形是矩形，

3分

又4分

5分

6分

（08湖南湘潭24题）24．（本题满分8分）

如图所示的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作的切线，切点为C，连结AC.

（1）若∠CPA=30°，求PC的长；

（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M.你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小.

（08湖南湘潭24题解答）解：（1）连结OC，

为的切线

4分

（2）的大小没有变化5分

6分

7分

8分

（08湖南益阳18题）18．如图8，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE‖BC.

(1)求∠EDB的度数；

(2)求DE的长.

（08湖南益阳18题解答）解：（1）∵DE‖BC，

∴∠EDB＝∠DBC＝3分

（2）∵AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，∴D为AC的中点

∵DE‖BC，∴E为AB的中点，

∴DE＝6分

（08湖南益阳22题）22.△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.

Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；

Ⅱ.探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答.如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分.

Ⅱa.小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.

设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化).

Ⅱb.小明想：不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法是：

①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；

②连结BF’并延长交AC于F；

③作FE‖F’E’交BC于E，FG‖F′G′交AB于G，GD‖G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.

你认为小明的作法正确吗？说明理由.

（08湖南益阳22题解答）Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，

∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°2分

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°3分

∴△BDG≌△CEF(AAS)5分

Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，

求得7分

由△AGF∽△ABC得：9分

解之得：(或)10分

解法二：设正方形的边长为x，则7分

在Rt△BDG中，tan∠B=，

∴9分

解之得：(或)10分

解法三：设正方形的边长为x，

则7分

由勾股定理得：9分

解之得：10分

Ⅱb.解：正确6分

由已知可知四边形GDEF为矩形7分

∵FE‖F’E’，

∴，

同理

∴

又∵F’E’=F’G’，

∴FE=FG

因此矩形GDEF为正方形10分

（08湖南益阳23题）23.两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1.固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

(1)如图11(1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.

(2)如图11(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.

(3)如图11(3)，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值.

（08湖南益阳23题解答）解：(1)过C点作CG⊥AB于G，

在Rt△AGC中，∵sin60°=，∴1分

∵AB=2，∴S梯形CDBF=S△ABC=3分

(2)菱形4分

∵CD‖BF，FC‖BD，∴四边形CDBF是平行四边形5分

∵DF‖AC，∠ACD=90°，∴CB⊥DF6分

∴四边形CDBF是菱形7分

(判断四边形CDBF是平行四边形，并证明正确，记2分)

(3)解法一：过D点作DH⊥AE于H，则S△ADE=8分

又S△ADE=，9分

∴在Rt△DHE’中，sinα=10分

解法二：∵△ADH∽△ABE8分

∴

即：

∴9分

∴sinα=10分

（08湖南永州19题）19．（6分）如图所示，左边方格纸中每个正方形的边长均为a，右边方格纸中每个正方形的边长均为b，将左边方格纸中的图形顺时针旋转90°，并按b:a的比例画在右边方格纸中．

（08湖南永州19题）（6分）

（08湖南永州22题）22．（8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF‖AB

（1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．

（08湖南永州22题解答）（8分）

（1）证明：与都是等边三角形

1分

2分

又

3分

四边形是菱形4分

（2）解：连结，与相交于点5分

由，可知6分

7分

8分

（08湖南永州24题）24．（10分）如图，已知⊙O的直径AB＝2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．

（1）求证：△APC∽△COD．

（2）设AP＝x，OD＝y，试用含x的代数式表示y．

（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．