高数求拐点
发表时间：2024-07-07 21:23:47
来源：网友投稿
(1)
（令x=0得φ(0)=1）
等式两边同时对x求导得
φ'(x)=1+xφ(x)-xφ(x)+∫φ(t)dt（积分范围x→0）
（令x=0得φ'(0)=1）
上式两边同时再次对x求导
φ''(x)=-φ(x)
也就是
φ''(x)+φ(x)=0
这是一个二阶常系数齐次线性微分方程
先求特征根其特征方程为r²+1=0
特征根r=±i
根据通解公式
φ(x)=a*cosx+b*sinx
其中a,b为常数
因为φ(0)=φ'(0)=1
所以a=b=1
故φ(x)=cosx+sinx
(2)
根据上一问我们有
φ''(x)=-φ(x)=-cosx-sinx=-√2*sin(x+π/4)
令φ''(x)=0得x=-π/4+kπ，k∈Z
所以
φ(x)的拐点为(-π/4+kπ,0)，其中k∈Z
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