求2011全国数学竞赛模拟试题

211年全国初中数学竞赛模拟试题

班级__________学号__________姓名______________得分______________

一、选择题（本题满分30分，每小题5分）

1．99个连续自然数之和等于abcd．若a、b、c、d皆为质数，则a＋b＋c＋d的最小值等于（）

（A）63（B）70（C）86（D）97

2．设P、Q分别是单位正方形BC、CD边上的点，且△APQ是正三角形，那么正三角形的边长为（）

（A）（B）（C）（D）

3．实数a、b、c两两不等，且三点的坐标分别为：A（a＋b，c），B（b＋c，a），C（c＋a，b），则这三点的位置关系是（）

（A）组成钝角三角形（B）组成直角三角形

（C）组成等边三角形（D）三点共线

4．对任意给定的△ABC，设它的周长为l，外接圆半径为R，内切圆的半径为r，则（）

（A）l＞R＋r（B）l≤R＋r（C）＜R＋r＜6l（D）以上均不对

5．平面上有P、Q两点，以P为外心、Q为内心的三角形的数量为（）

（A）只能画出一个（B）可以画出2个（C）最多画出3个（D）能画无数个

6．如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（）

（A）6（B）8（C）10（D）12

二、填空题（本题满分30分，每小题5分）

1．如图，梯形ABCD中，DC‖AB，DC∶AB＝1∶2，MN‖BD且平分AC．若梯形ABCD的面积等于，S△AMN＝，则＋＝__________．

2．不等式｜x＋7｜－｜x－2｜＜3的解是____________．

3．若自然数n能使〔〕整除n，则n的所有表达式为_____________．

4．小李用5000元买了一年期的某种债券，到期后从本利和中支取2000元用于购物，把剩下的钱又买了这种一年期债券，若这种债券的利率不变，到期后得本利和为3498元，那么这种债券的年利率是__________．

5．圆内接凸四边形ABCD的边AB∶BC∶CD∶DA＝1∶9∶9∶8，AC交BD于P，则S△PAB∶S△PBC∶S△PCD∶S△PDA＝____________．

6．销售某种商品，如果单价上涨m%，则售出的数量就将减少．为了使该商品的销售总金额最大，那么m的值应该确定为____________．

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

1．如图，∠CAB＝∠ABD＝90o，AB＝AC＋BD，AD交BC于P，作⊙P使其与AB相切．试问：以AB为直径作出的⊙O与⊙P是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明．

2．设α、β是整系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，且α2＋β2＜4，试求整数对（a，b）的所有可能值．

3．a、b、c为互不相等的数，若以下三个等式中有任意两个等式成立，求证：第三个等式也成立．

(b2＋bc＋c2)x2－bc(b＋c)x＋b2c2＝0；

(c2＋ca＋a2)x2－ca(c＋a)x＋c2a2＝0；

(a2＋ab＋b2)x2－ab(a＋b)x＋a2b2＝0．