函数幂级数大一高数共三道题能做几个做几个
发表时间：2024-07-08 15:05:49
来源：网友投稿
解：1题，【用“[.]'表示对x求导】设S=∑[(-1)^n](n+1)[x^(2n+1)]/(2n+1)!，
∵ρ=lim(n→∞)an+1/an=0，∴在x∈R，S是收敛的。
∴S=(1/2)∑[(-1)^n][2(n+1)x^(2n+1)]/(2n+1)!=(1/2)[x∑[(-1)^n](2n+2)x^(2n+1)/(2n+1)!]=(1/2)[xsinx]'=(sinx+xcosx)/2。
2题，设y=(x-1)/2，S=∑(1/n)[(x-1)/2]^n=∑(1/n)y^n，当丨y丨<1时，
∴两边对y求导，有S'=∑y^(n-1)=1/(1-y)，∴S=-ln(1-y)+lnc。而在收敛域内，对任意y均成立，令y=0，则c=1，∴S=-ln(1-y)=ln2-ln(3-x)。其中-1<x<3。
当x=2时，S=∑(1/n)/2^n=ln2-ln1=ln2。供参考。
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