轨迹方程求解方法

求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。

使用情景：可以直接列出等量关系式

解题步骤：

第一步根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）

第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。

例1已知定点,且，如果动点到点的距离与到点的距离之比为定值，求点的轨迹方程，并说明方程表示的轨迹。

【解析】

以的中点为原点，所在直线为，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则

，，设动点

依题意得即

化简整理得此为点的轨迹方程

当时方程可化为，

即

当时方程为。

所以当时方程为，点的轨迹是轴；

当时点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆。

【总结】题目中无直角坐标系时，要根据条件建立适当的坐标系使所涉及的点的坐标尽量简单，这样有利于方程的化简。一般选取题设中的定直线为坐标轴，定点在坐标轴上。

使用情景：轨迹符合某一基本轨迹的定义

解题步骤：

第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）

第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程。

例2、已知椭圆的焦点是，，是椭圆上的一个动点，如果延长到，使得那么动点的轨迹是（）

A、圆B、椭圆C、双曲线的一支D、抛物线

【解析】

由，，得，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆

例3、已知定点和动点，为的中点，为坐标原点，且满足．求点的轨迹方程；

【答案】

解析：取连接，

，

由双曲线定义知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支

，，

，，

点的轨迹方程为：.

使用情景：动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动

解题步骤：

第一步判断动点随着已知曲线上的一个动点的运动而运动

第二步求出关系式

第三步将点的坐标表达式代入已知曲线方程

例4定点为圆外一定点，为圆上任一点，的平分线交于点的轨迹方程。

【答案】轨迹方程为和

【解析】设，，由于平分，则

，则解得

代入得，即①

由于还有两种情况可能对轨迹有影响，

当与重合时与也重合，此时点位于，已包括在上述轨迹中；

当与重合时退化为角，此时点的轨迹方程为，且点也满足方程①

综上所述轨迹方程为和.

【总结】利用相关点法求轨迹方程，其关键是寻找所求的动点与已知曲线上的动点之间的关系。在本题中是借助线段的定比分点坐标公式来建立两动点之间的关系。

例5、如图，梯形的底边在轴上，原点为的中点，，，，为的中点．

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）过作的垂线，垂足为，若存在正常数，使，且点到、的距离和为定值，求点的轨迹的方程；

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ），．

【解析】

（Ⅰ）设点的坐标为，则，

又，，

由有即

（Ⅱ）设，则，代入的轨迹方程有

即，

的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）

要到的距离之和为定值，则以，为焦点，故

，从而所求的轨迹方程为.

使用情景：动点的运动受另一个变量的制约时

解题步骤：

第一步引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标；

第二步消去参数，得到关于的方程，即为所求轨迹方程。

例6、已知线段的长为，点分为两部分，当在轴正半轴运动时，在轴正半轴上运动，求动点的轨迹方程。

【答案】

【解析】设动点，和轴的夹角为，，

作轴于轴于

，

，

动点的参数方程为（为参数）

消去有，

即.

【总结】参数法是求轨迹方程的重要方法，其关键是选择适当参数，常用的参数有线参数、角参数、参数、参数和点参数等。

使用情景：涉及到两曲线的交点轨迹问题

解题步骤：

第一步解两曲线方程组得到

第二步消去动曲线中的参数。

例7、已知双曲线的左右顶点分别为，，点，是双曲线上不同的两个动点，求直线与交点的轨迹的方程。

【答案】且。

【解析】

由题设知，，则有

直线的方程为……①

直线的方程为……②

设点是与交点，①×②得

……③

又点在双曲线上，因此即。

代入③整理得.

因为点是双曲线上的不同两点，所以它们与点，均不重合，故点和均不在轨迹上。

故轨迹不经过点，

综上轨迹的方程为且。

【点评】用交规法求动点轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消掉参数，得出点的两个坐标间的关系即可。