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高二数学椭圆问题

发表时间：2024-07-09 00:27:06 来源：网友投稿

分析：

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)，由题意知b²=2，a²=8，所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1．

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），若直线l与y轴重合，则｜PM｜/｜PN｜=｜MQ｜/｜NQ｜=﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚，得y0=1，得λ=√2．若直线l与y轴不重合，则设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①，x1x2=8/﹙1+4k²﹚②．由此可知λ的取值范围．

解答：

解：

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)

因为它的一个顶点为A（0，√2），

所以b²=2，

由离心率等于√3/2，

得√[﹙a²-b²﹚/a²]=√3/2，

解得a²=8，

所以椭圆的标准方程为x²/8+y²/2=1

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），

若直线l与y轴重合，

则｜PM｜/｜PN｜=｜MQ｜/｜NQ｜=﹙2-√2﹚/﹙√2-y0﹚=﹙2+√2﹚/﹙√2+y0﹚，

得y0=1，得λ=2.

若直线l与y轴不重合，

则设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，

得x1+x2=-16k/﹙1+4k²﹚①，x1x2=8/﹙1+4k²﹚②，

由｜PM｜/｜PN｜=｜MQ｜/｜NQ｜得﹙0-x1﹚/﹙x1-x0﹚=﹙0-x2﹚/﹙x0-x2﹚，

整理得2x1x2=x0（x1+x2），将①②代入得x0=-1/k，又点N（x0，y0）在直线l上，

所以y0=k×(-1/k)+2=1，于是有1＜y1＜√2，

因此λ=﹙2-y1﹚/﹙y1-1﹚=﹙1-y1+1﹚/﹙y1-1﹚=[1/﹙y1-1﹚]-1，

由1＜y1＜√2，得1/（y1-1﹚＞√2+1，

所以λ＞√2，综上所述有λ≥√2

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

有疑问可以追问哦，。

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