如何求三角形的面积

1、三角形面积公式S=(L1*L2*sinα)/2

2、sinα=(1-cosα^2)^1/2

3、向量a(x1,y1)，b(x2,y2)夹角公式cosα=ab/(L1*L2)

夹角余弦值=向量点乘/（向量长度相乘）

4、sinα=(1-cosα^2)^1/2=(1-(ab/(L1*L2))^2)^1/2=((L1*L2)^2-(ab)^2)^1/2/(L1L2)=((x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)-(x1x2+y1y2)^2)^1/2/(L1*L2)=(x1^2*y2^2+y2^2*x1^2-2x1y1x2y2)^1/2/(L1*L2)=|(x1y2-x2y1)|/(L1*L2)

5、S=(L1*L2*sinα)/2=|(x1y2-x2y1)|/2

6、上式中x1x2y1y2都是向量分量值，是建立在三角形其中一个顶点已经移到了原点（0,0）的基础上的。对于更一般的形式

三角形三个顶点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)

向量a(x1-x3,y1-y3),b(x2-x3,y2-y3)

代回到5中的式子，S=|(x1-x3)*(y2-y3)-(x2-x3)*(y1-y3)|/2

但是个人觉得记住这个复杂的式子没有意义，还是理解并记住向量形式的表示，也就是5中的式子就可以了

实际上我们来看平面坐标系里的两个向量

a(x1,y1)，b(x2,y2)

列成矩阵形式

|x1y1|

|x2y2|

这个2*2矩阵的行列式的绝对值就是|x1y2-x2y1|，这就是以a,b为两条边的平行四边形的面积，自然以a,b为两条边的三角形面积就是|(x1y2-x2y1)|/2了

更多地我们来看三维空间坐标系里的三个向量

a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，c(x3,y3,z3)

列成矩阵形式

|x1y1z1|

|x2y2z2|

|x3y3z3|

这个3*3矩阵的行列式的绝对值就是|x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-z1y2x3-z2y3x1-z3y1x2|，这就是以a,b,c为边的平行六面体（盒子）的体积

所以求空间中（更高维空间也可以）的“盒子”体积的方法就是求矩阵的行列式的绝对值（当然“盒子”得是在高维空间中满维度的，例如二维空间中必须是个平行四边形，不能是直线；三维空间中必须是个平行六面体，不能是二维平面）

反过来看二维空间三角形面积求法，是可以通过矩阵行列式轻松求得的，比起用三角函数会简单很多。