数学的方程解法问题

一元二次方程的解法

　　一、知识要点：

　　一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础。

　　一元二次方程的一般形式为：ax^2（2为次数，即X的平方）+bx+c=0,(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

　　解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：

　　1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

　　二、方法、例题精讲：

　　1、直接开平方法：

　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.

　　例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11

　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

　　（1）解：(3x+1)2=7×

　　∴(3x+1)2=5

　　∴3x+1=±(注意不要丢解)

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=

　　（2）解：9x2-24x+16=11

　　∴(3x-4)2=11

　　∴3x-4=±

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=

　　2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)

　　先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

　　将二次项系数化为1：x2+x=-

　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2

　　方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=

　　当b2-4ac≥0时，x+=±

　　∴x=(这就是求根公式)

　　例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0

　　解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2

　　将二次项系数化为1：x2-x=

　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2

　　配方：(x-)2=

　　直接开平方得：x-=±

　　∴x=

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

　　例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

　　解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

　　∴a=2,b=-8,c=5

　　b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

　　∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

　　∴原方程的解为x1=,x2=.

　　4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

　　例4．用因式分解法解下列方程：

　　(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x2+3x=0

　　(3)6x2+5x-50=0(选学）(4)x2-2(+)x+4=0（选学）

　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得

　　x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)

　　(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)

　　∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)

　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

　　(2)解：2x2+3x=0

　　x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)

　　∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)

　　∴x1=0，x2=-是原方程的解。

　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

　　(3)解：6x2+5x-50=0

　　(2x-5)(3x+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

　　∴2x-5=0或3x+10=0

　　∴x1=,x2=-是原方程的解。

　　(4)解：x2-2(+)x+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）

　　(x-2)(x-2)=0

　　∴x1=2,x2=2是原方程的解。

　　小结：

　　一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

　　直接开平方法是最基本的方法。

　　公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

　　配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

　　解一元二次方程。但是配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

　　例5．用适当的方法解下列方程。(选学）

　　（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0（2）x2+(2-)x+-3=0

　　（3）x2-2x=-（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

　　分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。

　　（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。

　　（3）化成一般形式后利用公式法解。

　　（4）把方程变形为4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。

　　（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0

　　[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

　　(5x-5)(-x+13)=0

　　5x-5=0或-x+13=0

　　∴x1=1,x2=13

　　（2）解：x2+(2-)x+-3=0

　　[x-(-3)](x-1)=0

　　x-(-3)=0或x-1=0

　　∴x1=-3，x2=1

　　（3）解：x2-2x=-

　　x2-2x+=0(先化成一般形式)

　　△=(-2)2-4×=12-8=4>0

　　∴x=

　　∴x1=,x2=

　　（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

　　4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

　　[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

　　2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

　　∴x1=,x2=

　　例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。(选学）

　　分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方法）

　　解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

　　即(5x-5)(2x-3)=0

　　∴5(x-1)(2x-3)=0

　　(x-1)(2x-3)=0

　　∴x-1=0或2x-3=0

　　∴x1=1,x2=是原方程的解。

　　例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0

　　解：x2+px+q=0可变形为

　　x2+px=-q(常数项移到方程右边)

　　x2+px+()2=-q+()2(方程两边都加上一次项系数一半的平方)

　　(x+)2=(配方)

　　当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）

　　∴x=-±=

　　∴x1=,x2=

　　当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。

　　说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p,q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求，必要时进行分类讨论。

　　练习：

　　（一）用适当的方法解下列方程：

　　1.6x2-x-2=02.(x+5)(x-5)=3

　　3.x2-x=04.x2-4x+4=0

　　5.3x2+1=2x6.(2x+3)2+5(2x+3)-6=0

　　（二）解下列关于x的方程

　　1.x2-ax+-b2=02.x2-(+)ax+a2=0

　　练习参考答案：

　　（一）1.x1=-,x2=2.x1=2,x2=-2

　　3.x1=0,x2=4.x1=x2=25.x1=x2=

　　6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）

　　[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0

　　即(2x+9)(2x+2)=0

　　∴2x+9=0或2x+2=0

　　∴x1=-,x2=-1是原方程的解。

　　（二）1．解：x2-ax+(+b)(-b)=02、解：x2-(+)ax+a·a=0

　　[x-(+b)][x-(-b)]=0(x-a)(x-a)=0

　　∴x-(+b)=0或x-(-b)=0x-a=0或x-a=0

　　∴x1=+b，x2=-b是∴x1=a，x2=a是

　　原方程的解。原方程的解。

　　测试

　　选择题

　　1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（）

　　A、x=5B、x=-5C、x1=x2=5D、x1=x2=-5

　　2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（）。

　　A、3或7B、-3或7C、3或-7D、-3或-7

　　3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个根是（）。

　　A、0B、1C、-1D、±1

　　4．一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（）。

　　A、b≠0且c=0B、b=0且c≠0

　　C、b=0且c=0D、c=0

　　5．方程x2-3x=10的两个根是（）。

　　A、-2，5B、2，-5C、2，5D、-2，-5

　　6．方程x2-3x+3=0的解是（）。

　　A、B、C、D、无实根

　　7．方程2x2-0.15=0的解是（）。

　　A、x=B、x=-

　　C、x1=0.27,x2=-0.27D、x1=,x2=-

　　8．方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）。

　　A、(x-)2=B、(x-)2=-

　　C、(x-)2=D、以上答案都不对

　　9．已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（）。

　　A、(x-1)2=m2+1B、(x-1)2=m-1C、(x-1)2=1-mD、(x-1)2=m+1

　　答案与解析

　　答案：1.C2.C3.B4.D5.A6.D7.D8.C9.D

　　解析：

　　1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5,

　　注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。

　　2．分析：依题意得：a2+4a-10=11,解得a=3或a=-7.

　　3．分析：依题意：有a+b+c=0,方程左侧为a+b+c,且具仅有x=1时，ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1时，方程成立，则必有根为x=1。

　　4．分析：一元二次方程ax2+bx+c=0若有一个根为零，

　　则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以c=0.

　　另外还可以将x=0代入，得c=0，更简单！

　　5．分析：原方程变为x2-3x-10=0,

　　则(x-5)(x+2)=0

　　x-5=0或x+2=0

　　x1=5,x2=-2.

　　6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。

　　7．分析：2x2=0.15

　　x2=

　　x=±

　　注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。

　　8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(-)2，

　　整理为：(x-)2=

　　方程可以利用等式性质变形，并且x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。

　　9．分析：x2-2x=m,则x2-2x+1=m+1

　　则(x-1)2=m+1.

　　中考解析

　　考题评析

　　1．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。

　　评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。

　　2．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（）

　　（A）x=3+2（B）x=3-2

　　（C）x1=3+2,x2=3-2（D）x1=3+2,x2=3-2

　　评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方根，即可选出答案。

　　课外拓展

　　一元二次方程

　　一元二次方程（quadraticequationofonevariable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。

　　一般形式为：ax^2+bx+c=0,(a≠0)

　　在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数，即求出这样的x与，使

　　x=1,x+=b,

　　x2-bx+1=0,

　　他们做出(2）；再做出，然后得出解答：+及-。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。

　　埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax^2=b。

　　在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。

　　公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次

　　给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。

　　韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。