求近几年数学中考的最后一题

28.(2011江苏镇江,28,10分)在平面直角坐标系xOy中,直线过点A(1,0)且与y轴平行,直线过点B(0,2)且与x轴平行,直线与相交于P.点E为直线一点,反比例函数(k>0)的图象过点E且与直线相交于点F.

(1)若点E与点P重合,求k的值;

(2)连接OE、OF、EF.若k>2,且△OEF的面积为△PEF的面积2倍,求点E的坐标;

(3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在,求点E的坐标;若不存在,请说明理由.

如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N,FN⊥BC.

(1) 若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？

(2) 点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y。

① 求y与x的函数关系式；

② 当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值。

【答案】（1）k=1×2=2.

（2）当k>2时，如图28-1，

点E、F分别在P点的右侧和上方过E作x轴的垂线EC，垂足为C，过F作y轴的垂线FD，垂足为D，EC和FD相交于G，则四边形OCGD为矩形。

∵ PF⊥PE.

∴

四边形OCGD为矩形

∴

26.（2011辽宁丹东，26，12分）已知：二次函数与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程的两个根.

（1）请直接写出点A、点B的坐标.

（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标.

（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合）.过点Q作QD∥AC交于BC点D，设Q点坐标（m，0），当面积S最大时，求m的值.

【答案】（1）A（－2，0）、B（6，0）

=2

=

解得k=6或2.因为k=2时,E、F重合,所以k=6.

所以E点的坐标为(3,2)

（3）存在点E及y轴上的点M,使得△MEF与△PEF全等

①当k<2时，如图28-2，

只可能△MEF≌△PEF。作FH⊥y轴于H，△FHM∽△MBE得：.

∵FH=1,EM=PE=1-,FM=PF=2-k

∴,BM=,

在Rt△MBE中，由勾股定理得,

∴,解得k=,此时E点的坐标为（，2）

②当k>2时，如图28-3，

只可能只可能△MEF≌△PEF，作作FQ⊥y轴于Q，

△FQM∽△MBE得：

∵FQ=1,EM=PF=k-2,FM=PE=,

∴,BM=2,

在Rt△MBE中，由勾股定理得,

解得k=或0，但k=0不符合题意，所以k=。

此时E点的坐标为（，2），符合条件的E点坐标为

（，2）和（，2）。