a,b,c为正数是a3b3c3≥3abc的什么条件
发表时间：2024-07-09 14:45:54
来源：网友投稿
充分不必要条件，因为从a，b，c为正数可以推出a^3+b^3+c^3≥3abc，
而从a^3+b^3+c^3≥3abc推不出a，b，c为正数，至于证明过程，还是可以给出的。
当a>0,b>0,c>0
证明：a^3+b^3+c^3
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b)
=(a+b+c)^3-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)+3abc
=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3c(a+b)-3ab]+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ac-3bc-3ab)+3abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc
=0.5(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)+3abc
=0.5(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]+3abc≥3abc
显然当且仅当a=b=c时等号成立。
同样不必要条件的反例也可以给出的，
比如a=100，b=100，c=-1时，a^3+b^3+c^3≥3abc，但是此时a，b，c不全是正数。
所以是充分不必要条件，希望能帮到你，满意请采纳！
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