如何由泰勒公式求1/(1-x)的泰勒级数
发表时间：2024-07-09 16:22:42
来源：网友投稿
要得到函数f(x)=1/(1-x)的泰勒展开式，我们可以使用幂级数展开的方法。首先我们需要找到函数在某个点的各阶导数。对于f(x)=1/(1-x)，我们可以使用求导法则得到：
f'(x)=(1-x)^(-2)
f''(x)=2(1-x)^(-3)
f'''(x)=2*3(1-x)^(-4)
...
f^n(x)=n!/(1-x)^(n+1)
然后我们可以使用泰勒展开公式来表示f(x)：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...
将a设为0，即展开点为x=0，代入函数f(x)和对应的导数，我们可以得到：
f(x)=f(0)+f'(0)x/1!+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...
由于f(0)=1，而f'(0)=1，f''(0)=2，f'''(0)=2*3，以此类推，我们可以将它们代入展开式：
f(x)=1+x+(2x^2)/2!+(2*3x^3)/3!+...
化简可得：
f(x)=1+x+x^2+x^3+...
因此函数f(x)=1/(1-x)的泰勒展开式为1+x+x^2+x^3+...。这是一个无穷级数，表示在给定条件下，函数可以近似地表示为该级数的和。
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