一道我认为很难的数学题

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；（2）分别从当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H与当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的对应边成比例，求得△PBQ各边的长，根据相似三角形的判定，即可得以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；（4）由x=5秒，求得AQ与AP的长，可得PQ是△ABC的中位线，即可得PQ是AC的垂直平分线，可得当M与P重合时△BCM得周长最小，则可求得最小周长的值．

解答：解：（1）设AC=4ycm，BC=3ycm，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4y）2+（3y）2=102，解得：y=2，∴AC=8cm，BC=6cm；（2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，∵AP=xcm，∴BP=（10-x）cm，BQ=2xcm，∵△QHB∽△ACB，∴QHAC=QBAB，∴QH=85xcm，y=12BP•QH=12（10-x）•85x=-45x2+8x（0＜x≤3），②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=xcm，∴BP=（10-x）cm，AQ=（14-2x）cm，∵△AQH′∽△ABC，

∴AQAB=QH′BC，即：14-2x10=QH′6，解得：QH′=35（14-2x）cm，∴y=12PB•QH′=12（10-x）•35（14-2x）=35x2-515x+42（3＜x＜7）；∴y与x的函数关系式为：y=-45x2+8x(0＜x≤3)35x2-515x+42(3＜x＜7)；（3）∵AP=xcm，AQ=（14-2x）cm，∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴APAC=AQAB=PQBC，即：x8=14-2x10=PQ6，解得：x=5613，PQ=4213，∴PB=10-x=7413cm，∴PQPB=42137413=≠BCAB，∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC不相似；（4）存在．理由：∵AQ=14-2x=14-10=4cm，AP=x=5cm，∵AC=8cm，AB=10cm，∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥BC，∴PQ⊥AC，∴PQ是AC的垂直平分线，∴PC=AP=5cm，∵AP=CP，∴AP+BP=AB，∴AM+BM=AB，∴当点M与P重合时，△BCM的周长最小，∴△BCM的周长为：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16cm．∴△BCM的周长最小值为16cm．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．你应该会看得懂吧