数学史上的三大危机分别是什么

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，

数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的

概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而

仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派

的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方

形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和

违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见

解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次

数学危机。这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，

数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科

学领域得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础概念之

一。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除

法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得

到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻

辑上自相矛盾。直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为

确定的量即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就

怎样小的量因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的

概念而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。第二次数学

危机的解决使微积分更完善。

第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。

第一种集合：集合本身不是它的元素，即AA；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A，

例如一切集合所组成的集合。那么对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。

假设第一种集合的全体构成一个集合M，那么M属于第一种集合还是属于第二种集合。

如果M属于第一种集合，那么M应该是M的一个元素，即M∈M，但是满足M∈M关系的集合

应属于第二种集合，出现矛盾。如果M属于第二种集合，那么M应该是满足M∈M的关系，这

样M又是属于第一种集合矛盾。以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。由于严格的极限理论

的建立数学上的第一次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理

论又是以集合论为基础的，现在集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。