群论的基本概念

定义:设S是一个非空集合，那么S与自身的笛卡尔积到S自身的映射就叫做S的结合法或运算即：这时，S叫做代数系。换句话说对于一个集合S，如果在这个集合上的某种运算是封闭的()，那么就称S是这种运算的代数系。

代数系有时候也被称为广群，当一个广群满足某些条件的时候，便可以称作群1.结合律设S是具有一个运算的非空集合，如果对S中的任意元素a,b,c，在S上的运算都有：(ab)c=a(bc)则称该运算满足结合律。2.单位元设S是一个具有运算的非空集合，如果S中存在一个元素e；使得对S中的所有元素a都有：ea=ae=a则称该元素e为S中的单位元，通常记作e3.可逆性设S是一个具有运算并且有单位元的非空集合，设a是一个S中的元素，如果S中存在一个元素a'使得:aa'=a'a=e则称该元素a为S中可逆元，a'称为a的逆元，通常记作4.群的定义：设G是一个具有运算的非空集合，称G为一个群，如果G上的运算满足下面三个条件：(i)结合律，即对都有：(ab)c=a(bc)(ii)单位元，即使得都有：ae=ea=a(iii)可逆元，即使得：aa'=a'a=e如果群G中的元素个数叫做群G的阶，记位|G|；当|G|为有限数的时，G叫做有限群，否则G叫做无限群。换句话说如果在集合G上的运算满足结合律，并且在该运算下G中存在单位元，并且G中的每个元素都有逆元，则称G是一个群。

因此群的单位元是唯一的5.交换律设S是一个具有运算的非空集合S，如果都有：ab=ba则称该运算满足交换律。如果群G中的运算还满足交换律，那么则称这个群是交换群或者阿贝尔(Abel)群。

定理：设n是正整数，如果，则记，称为a的n次幂；特别地，定义为单位元，逆元的n次幂。性质：设a是群G中的任意元素，则对任意的整数m,n,有:

定义:设H是群G的一个子集合，如果对于群G的运算，H成为一个群，那么H就叫做群G的子群，记作Notation:H={e}和H=G都是群G的子群，叫做群G的平凡子群；群G的子群H叫做群G的真子群，如果H不是群G的平凡子群。

子群的判定定理:设是群的一个非空子集，则H是群G的子群的充分必要条件是：

陪集的定义:设是群的子群，是中任意元素，那么集合：叫做中的左陪集(相似的，可以定义中的右陪集)，中的元素叫做的代表元，如果，则叫做中的陪集需要注意的是，在陪集定义中的是指和在群上定义的运算

陪集的性质:设是群的子群，则i)对任意，有：，ii)对任意，有判断陪集相等:对任意的充要条件是，相反的如果，则。

商集的定义:设H是群G的子群，则H在G中不同左陪集组成的新集合，叫做H在G中的商集，记作G/H,即而G/H中不同左陪集的个数叫做H在G中的指标，记为[G:H]

商集指标的性质:设H是群G的子群，则|G|=[G:H]|H|更进一步，如果是群的子群，且是的子群，则，其中的每个指标都是有限的

拉格朗日推论:设是有限群的子群，则子群的阶是群的阶的因数

定义:设N是群G的子群，称N为群G的正规子群，如果N满足：i)对任意，有ii)对任意，有iii)对任意，有，其中

正规子群的性质:设N是群G的正规子群，G/N是由N在G中的所有左陪集组成的集合，则对于运算(aN)(bN)=(ab)N，G/N构成一个群.

定义:设和都是群，是到的一个映射，若有：则称是到的一个同态需要注意的是，同态可称作保持运算的映射：如果是单射，则称为单同态；如果是满射，则称是满同态；如果是双射，则称为同构。

如果群G和G'之间存在一个同构映射，则称G和G‘是同构的，记为GG'当G=G'的时候，同态叫做自同态；同构叫做自同构。同态的性质：i)，即同态将单位元映射到单位元

ii)，即同态将a的逆元映射到的逆元

iii)是G'的子群，且f是满同态的充要条件是：f(G)=G'

核子群：是的子群，并且是单同态的充要条件是：，便称为核子群

定理：设是群G到群G'的同态，则是G的正规子群，反过来，如果N是群G的正规子群，则映射：是ker(f)=N的同态，并且s被称为G到G/N的自然同态。

同态分解（由一个同态映射得到一个同构映射）：设f是群G到群G‘的同态，则存在唯一的G/ker(f)到群f(G)的同构映射。

并且可以得到一个映射转换关系：，其中s是群G到商群G/ker(f)的自然同态，是f(G)到G'的恒等同态。即：