这道积分题应该怎么算求过程
发表时间：2024-07-11 06:59:20
来源：网友投稿
令A=∫(0,+∞)e^(-k^2*x^2)dx
则A^2=∫(0,+∞)e^(-k^2*x^2)dx*∫(0,+∞)e^(-k^2*y^2)dy
=∫∫(D)e^[-k^2*(x^2+y^2)]dxdy，其中D是第一象限
令x=rcost，y=rsint，则
A^2=∫(0,π/2)dt*∫(0,+∞)e^(-k^2*r^2)*rdr
=(π/2)*(-1/2k^2)*∫(0,+∞)e^(-k^2*r^2)d(-k^2*r^2)
=(-π/4k^2)*e^(-k^2*r^2)|(0,+∞)
=π/4k^2
因为A恒大于0，所以A=(√π)/(2k)
（1）2k^2*∫(0,+∞)x^2*e^(-k^2*x^2)dx
=-∫(0,+∞)x*d[e^(-k^2*x^2)]
=-x*e^(-k^2*x^2)|(0,+∞)+∫(0,+∞)e^(-k^2*x^2)dx
=0+A
=(√π)/(2k)
（2）2k^2*∫(0,+∞)x^3*e^(-k^2*x^2)dx
=-∫(0,+∞)x^2*d[e^(-k^2*x^2)]
=-x^2*e^(-k^2*x^2)|(0,+∞)+∫(0,+∞)e^(-k^2*x^2)d(x^2)
=0+(-1/k^2)*e^(-k^2*x^2)|(0,+∞)
=1/k^2
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