谁有数学趣味题要有答案

数学的猜想

数学上有许多重要的猜想，所谓猜想就是由人们的只管或直觉上的判断认为可能成立但又未经严格证明的命题。一个深刻的猜想能成为推动数学不断向前发展的动力。

1.哥德巴赫（C.Coldbach,1690-1764）猜想

1742年6月7日德国数学家哥德巴赫写信给当时世界上最著名的瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）,提出了两个猜想：

⑴每个大于等于6的偶数都可以表示成两个奇素数之和；

⑵每个大于等于9的奇数都可以表示成三个奇素数之和。

欧拉接信后通过验算于6月30日回信说：“任何大于6的偶数都是两个奇素数之和，虽然我不能证明，但我确信这是完全正确的。”这就是历史上著名的哥德巴赫猜想。

在经过了230多年之后，我过数学家陈景润于1973年证明了：“每个充分大的偶数都可表示为一个奇素数与另一个不超过两个奇素数乘积之和。”这个结果距哥德巴赫猜想虽只有一不之遥，但一个猜想在未得到严格证明之前，还只能是猜想。人们通俗地把哥德巴赫第一个猜想说成“1+1”，而把陈景润的结论说成“1+2”。

2.费马（Fermat,1601_1665）关于素数的猜想

法国业余数学家费马在数论方面有好几个猜想，这里是讲他关于素数的猜想。费马曾宣称数对Fn=2(n/2)+1对n为一切自然数都是素数。后来人们把Fn称为费马数。当n=0，1，2，3，4时，Fn确实是素数。18世纪欧拉证明了F5=641*6700417不是素数，从而否定了费马的猜想。后来人们又发现F6，F7，F8，…，F10等都不是素数，即除了前五个数之外，目前还没有发现任何其他费马数是素数。

3.波利耶（G.Polya）猜想

4.又阅兵式产生的正交拉丁方猜想

1779年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝的请求，研究一个又阅兵式产生的问题：有6个不同的师团，各选出上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一人，能否把这36人排成6*6的方阵，使得每行每列都有各个师团各种军衔军官的代表？这个问题的一般提法是：

有n个不同的拉丁字母和n个不同的阿拉伯数码，能否把它们排成n*n的方阵，使得每行每列的n个字母和n个数码都互不相同并且行和列之间均不会出现相同的排法。这个问题称为n阶正交拉丁方问题。

5.哥尼斯堡七桥问题

18世纪，欧洲东普鲁士哥尼斯堡城市的近郊有一条河叫普累格河，河中有两个岛，两岸与两个岛之间架有七座桥（如下图）。城内居民提出：一个散步者怎样走才能不重复地走遍七座桥而回到原来的出发点？

数学正确地反映了现实世界中的空间形式与数量关系，表现出了惊人的准确性和预见性。这样的饿例子举不胜举。

(1).海王星的发现

(2).“正电子”的存在

1928年，英国物理学家荻拉克（PaulDirac）在研究量子力学的过程中导出了一个描述电子运动的方程——Dirac方程。在解这个方程时，由于开平方得到了正负两个完全相反的解，这就是说，这个方程不仅描述了人们已知的带负电荷的电子的运动，还描述了另一种除电荷是正的以外，其他结构和性质与电子一模一样的、人们尚不知道的反粒子的运动。当时人们所知道的唯一带正电荷的粒子就是质子，但质子的质量过大，不符合Dirac方程的“负能解”。是量子力学有问题，还是确实存在正电子？Dirac根据数学中对称的原则，大胆地提出了“存在与电子质量相等而电荷相反的‘负能粒子’——正电子”的预言。1932年9月，物理学家Anderson在宇宙射线中发现了这种粒子，证实了Dirac的预言。这个成果使Anderson获得了1936年的诺贝尔物理学奖。

客观世界中的万事万物运行有序、和谐统一。因此作为研究客观世界的形与数的数学也以其和谐、有序而令人陶醉。

(1).黄金分割

把一条长为L的线段分为长度分别为L1与L2的两部分，使L1为L与L2的比例中项，即

L：L1=L1：L2

由此可得

L1/L=根号5-1/2=0.618…

其倒数为

L/L1=根号5+1/2=1.618…

人们把这两个比值称为黄金比。文艺复兴时期，有好几位颇具几何修养的艺术大师，如丢勒（Durer）、达.芬奇（DaVinci）等人，他们把几何学上对图形的定

量分析应用于一般的绘画艺术，给绘画艺术建立起了科学理论基础。在这一过程中，他们发现黄金分割与人们审美观点之间的联系。当一个矩形的长与宽之比为黄金比时，则是优美的矩形；绘画的表现主体如果置于画面的黄金分割处，就更能吸引观赏者的注意。

古代的建筑大使和雕塑家们早已就巧妙地利用黄金比创造出了雄伟壮观的建筑杰作和令人倾倒的艺术珍品。世界上七大奇迹之一的胡夫（Khufu）金字塔（建于公元前3000多年），其原高度与底部边长之比约为1：1.6（底边与高度之比的两倍约3.14159，这是直到3世纪时人们才得到的圆周率的最好精度）；庄严肃穆的雅典巴特农神殿（建于公元前5世纪），其正面高度与宽度之比约为1：1.6；风姿妩媚的爱神“维纳斯”和健美潇洒的太阳神阿波罗的塑像，它们下肢与身高之比都是近于1：1.6。

更令人惊异的是，大自然似乎比人类更懂得黄金分割与黄金比的奥秘。例如很多植物的叶片是按空间螺旋线自下而上的顺序逐个萌出的，每相邻两张叶片中线的夹角都是约137度18分，这正是将360度的圆周角按黄金比分割的结果。这样一来每片叶子都不会刚好长在另一片叶子上方，保证了所有叶子都能得到尽可能多的阳光、雨露和空气。

在长与宽之比为黄金比的“黄金矩形”中分割出一个正方形后，余下的矩形中又分割出一个正方形。在余下的黄金矩形中又分割出一个正方形，余下部分仍是黄金矩形。如此不断地继续分割下去，若把这些相继分割出来的正方形的中心用光滑曲线连起来，就形成一条美丽的曲线——黄金螺线。如果把这些一个套一个的黄金矩形的顶点顺序用光滑曲线连起来，又形成另一条美丽曲线——对数螺线。

中国著名数学家华罗庚在20世纪六七十年代将黄金分割用与优化理论，创造性地提出了0.618方法，并亲自深入到工矿企业进行普及和推广，为企业的科学管理、提高产值做出了重要的贡献，现举例说明。

(2).电磁波方程

数学上的和谐与对称，启发科学家们揭示和发现了很多自然界的奥秘。例如英国物理学家马克斯韦尔（Maxwall）在法拉第（Farady）经过实验获得的电磁方程的基础上，有电磁波的对称性及上述方程结构形式上的对称性，大胆地猜想出其中分别为E、H、c分别为电场强度、磁场强度与光速。这就是著名的电磁场的Maxwall方程，它揭示了电磁波的存在，即在变化的电场周围产生变化的磁场，在变化的磁场周围产生的电场。30年后，德国物理学家赫兹用实验方法证实了Maxwall的预言，他们对推动今天的通讯技术做出了划时代的贡献。

(3).无理数的表示

数学本身有时也会遇到秩序和规律似乎受到破坏的情形，例如

根号2=1.144213562373056

圆周率=3.141592653589793

它们是无穷非循环小数，无论到小数点后多少位都不会呈现整体上的规律。难怪深信“万物皆数”和“宇宙和谐”的毕达哥拉斯学派对无理数是如此地惊慌，以致要把他的发现者匆匆抛入大海。但是只要把根号2和圆周率表示成无穷和或连分数的形式，就立即呈现出令人惊奇的简单规律：

数学上的和谐也意味着数学本身理论的协调统一，追求这种协调统一正是数学研究的目的之一。法国数学家庞加莱说：“数学家非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的做作。那么到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡…..

古老的拉丁格言中有这样一句话：“简单是真理的标志。”数学是一门追求简洁的科学。

(1).数学问题简洁

一个好的数学问题为了突出其本质的因素，必然是简洁的。而一个问题提得

越简洁、越清晰易懂，也就越容易引起人们的兴趣。

(2).数学语言简洁

数学语言是精练的语言。例如直角三角形三边之间的关系可用C2=a2+b2来表达；欧拉公式把在实数域看不出有任何联系的指数函数和三角函数在复数域内紧密地联系在一起。爱因斯坦就能把茫茫宇宙中的质能互换这样深奥复杂的关系如此复杂如此简单地揭示出来。

(3).数学概念简洁

数学概念是数学语言的精髓。不少数学概念已历经沧桑，内涵不断发生着深刻的变化，每一次变化都使这个概念更加清晰、准确、简洁。以函数概念为例，从1673年莱布尼兹给出的“函数就像曲线上的点的坐标那样随点的变化而变动的量”的定义，到1821年柯西给出的“对于X的每个值，如果Y有完全确定的值与之对应，则Y叫做X的函数”的定义，再到近代的“设A、B是非空的集合，F是A到B的一个对应法则，则A到B的映射F：A→B称为A到B上的函数”的定义，其间经历了三百多年，一次比一次深刻。

(4).数学的证明简洁

马丁•伽德纳指出：“数学的真谛在于不断寻求越来越简单的方法证明定理和解答问题。”简洁的证明，看上去思路自然，条理清楚，显示出数学证明不容辩驳的逻辑力量，给人带来美的享受。因此追求简洁也是数学家重要的研究课题。英国数学家说：“数学的目的就是用简单而基本的词汇尽可能多地解释世界……如果我们积累起来的经验要一代一代地传下去的话，我们就必须不断地努力把它们加以简化和统一。”

微积分学它是研究函数微分与积分性质与应用的一个数学分支。微积分的出现，是由初等数学向高等数学转变的一个具有划时代意义的大事。但是在微积分发展的过程中也曾产生过一些“混乱”或者说“神秘性”。这种“神秘性”

主要集中在“无穷小量”上。

16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，工业、交通和战争的需要向自然科学提出了新的研究课题，迫切学要力学、天文学等基础学科给予解答。归纳起来主要是两个基本问题：一个是已知路程求速度；一个是已知速度求路程。在等速运动的情况下，这两个问题可以用初等数学来解决，但在变速的情形，只用初等数学就无法解决了。

求任意曲线的切线以及求任意曲线所围成的面积（或求任意曲面所围成的体积）

牛顿和德国数学家莱布尼兹在前人工作的基础上，分别从力学和集合学独立地创立了微积分学。牛顿则重于力学的研究，如出了速度的概念，考虑了速度的变化，建立了微积分的计算方法。他于1665年创造了流数法，并利用这个方法从行星运动三大定律推出了万有引力定律，再根据万有引力定律解决了学多力学和天文学的问题。莱布尼兹则突出了切线的概念，从变量的有限差出发引入微分概念，他特别重视运算符号和法则。

微积分刚一形成，就在解决实际问题中显示出强大的威力。例如在天文学中，它能够精确地计算行星、彗星的运行轨道和位置。英国天文学家哈雷就通过之中计算断定1531年、1607年、1682年出现过度饿彗星是同一颗彗星，并推测她将于1759年再次出现，这个预见后来果然被证实。虽然微积分的应用愈来愈广泛，内容也愈来愈丰富，但当时的微积分并没有确切的数学定义。特别是一些地理的证明和公式的推倒，在逻辑上前后矛盾，不好理解，使人感到可疑，但推出的结论往往是正确无误的。这样微积分就具有了一种“神秘性”。

这种“神秘性”集中地体现在当时对“无穷小量”的认识上。牛顿在一些经典推倒中，他既用无穷小量作分母进行出发，这意味着无穷小量不是零；但是他又把被无穷小量所乘的项当作没有而去掉，这说明他又认为无穷小量是零。奇怪的是这样所推倒的公式在力学和几何学的应用中证明了它们都是正确的。这种用逻辑上自相矛盾的方法推倒出正确结论的事实，使微积分运算表面上看来有很大的随意性。

牛顿本人也意识到了这种逻辑上的混乱，但无法摆脱。莱布尼兹也无法解释为什么两个无穷小量之比可能是一个有限数。因此他对无穷小量产生疑问：“无穷小量是不是真的存在？它们有没有严格的依据？”

在为微积分作奠基性工作方面，瑞士数学家约翰•贝努里和欧拉、奥地利数学家波尔查诺、德国数学家荻内赫利等都作国贡献，而起决定作用的是法国数学家柯西，他于1821年在《分析教程》中给出了极限该连比较精确的分析定义，并以极限概念为基础，各级出了无穷小量、无穷级数的“和”等许多概念的较明确的定义。德国数学家韦尔斯特拉斯总结了前人的工作，于1855年给出了极限的严格定义，即今天的，并把分析基础归结为对实数理论的研究。他与德国数学家戴德金、康托一起创立了实数理论，这是分析学的逻辑基础发展史上的重大成就。至此人们才知道无穷小量只不过是在某个变化过程中以零为极限的变量。