初二下册数学二次根式知识点

【知识回顾】

1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1）（）2=（≥0）；（2）

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

=•（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

1、概念与性质

例1下列各式1），

其中是二次根式的是_________（填序号）．

例2、求下列二次根式中字母的取值范围

（1）；（2）

例3、在根式1)，最简二次根式是（）

A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)

例4、已知：

例5、（2009龙岩）已知数a，b，若=b－a，则()

A.a>bB.a<ba≤b2、二次根式的化简与计算

例1.将根号外的a移到根号内，得()

A.；B.－；C.－；D.

例2.把（a－b）－1a－b化成最简二次根式

例3、计算：

例4、先化简，再求值：

，其中a=，b=．

例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：

4、比较数值

（1）、根式变形法

当时①如果，则；②如果，则。

例1、比较与的大小。

（2）、平方法

当时①如果，则；②如果，则。

例2、比较与的大小。

（3）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3、比较与的大小。

（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、比较与的大小。

（5）、倒数法

例5、比较与的大小。

（6）、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6、比较与的大小。

（7）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①；②

例7、比较与的大小。

（8）、求商比较法

它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：

①；②

例8、比较与的大小。

5、规律性问题

例1.观察下列各式及其验证过程：

，验证：；

验证:.

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.