圆锥曲线极点极线定理

发表时间：2024-07-12 05:53:13 来源：网友投稿

圆锥曲线极点极线定理如下：

极线

在数学中极线通常是一个适用于圆锥曲线的概念，如果圆锥曲线的切于A,B两点的切线相交于P点，那么P点称为直线AB关于该曲线的极点(pole)，直线AB称为P点的极线(polar)。

但是上面定义仅适用于P点在此圆锥曲线外部的情况。实际上在P点在圆锥曲线内部的时候同样可以定义极线，这时我们可以认为极线是过P点做此圆锥曲线两条虚切线切点的连线.特别的，如果这个圆锥曲线是一个圆，我们同样有圆的极线和极点的概念。

极线的几何性质

对于圆锥曲线,两个点的切线的交点的极线即这两点的连线。另外过不在圆锥曲线上任意一点做两条和此曲线相交的直线得出四个点，那么这四个点确定的四边形的对角线交点在该点的极线。我们也可以把这个性质作为圆锥曲线的极线的定义。

而当一个动点移动到曲线上，那么它的极线就退化为过这点的切线，所以极点和极线的思想实际上是曲线上点和过该点切线的思想的一般化。

极线的代数形式

对于一般的圆锥曲线,我们可以将它的方程写成矩阵形式

[x,y,1]A[x,y,1]^T=0

其中[x,y,1]^T表示这是一个列向量,其中A是一个3*3矩阵.那么对于平面上任意一个点(x0,y0)，其对应极线方程即[x0,y0,1]A[x,y,1]^T=0。而这个同圆锥曲线的切线方程也是一致的。

反演变化中的极线

在反演变换中，如果反演中心为O，P点经过反演变换后得到P'，则过P'垂直PO（O、P、P'共线）的直线称为P点的极线(polar)，P称为该直线的极点(pole)。实际上,这个定义同前面圆锥曲线的极线和极点是一致的,只是这里的圆锥曲线取为这个反演变换的反演圆。

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