高等数学极值问题
发表时间：2024-07-12 15:03:09
来源：网友投稿
假设f(x)和g(x)在x=a处连续且二阶可导，则有
f'(a)=g'(a)=0，f''(a)<0，g''(a)<0
F'(x)=[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
故F'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)=0
所以F(x)在x=a处取得极值，C选项错误。
F''(x)=[f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]'=f''(x)g(x)+f(x)g''(x)+2f'(x)g'(x)
故F''(a)=f''(a)g(a)+f(a)g''(a)+2f'(a)g'(a)=f''(a)g(a)+f(a)g''(a)
只知道f''(a)<0，g''(a)<0，而g(a)和f(a)的符号不能确定，所以F''(a)的符号不能确定。所以即使知道f(x)和g(x)在x=a处二阶可导，且二阶导数小于零，也只能确定F(x)取得极值，但无法确定是极大值还是极小值，选D正确。
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