(n-1)……(n-k1)能被k!整除吗
发表时间：2024-07-12 15:32:21
来源：网友投稿
(n-1)……(n-k+1)能被k!整除吗
解：
首先假定n>=k.且k为素数。此时
n(n-1)……(n-k+1)/k!
是从n个相异元素中取出k个的组合数C(n,k),无疑，它是整数。证明不难数论教程中一般都有。
我们再来讨论原题，亦即(n-1)……(n-k+1)/k!是否为整数。
若n为k的倍数，由wilson定理，(n-1)……(n-k+1)==(-1)^(k-1)*(k-1)!==(-1)^kmodk，此时不能被k整除。
否则,n不是k的倍数，即n与素数k互质而n(n-1)……(n-k+1)==0modk!，故(n-1)……(n-k+1)==0modk!,即(n-1)……(n-k+1)能被k!整除
其它情况下取决于n是否为k的倍数，与上述类似。当然与要证明，可以认为有某种平移性。略。
当k非素数时，待分析。暂打住。
综上当k为素数，n不是k的倍数时，(n-1)……(n-k+1)能被k!整除;
k为素数，n是k的倍数时，(n-1)……(n-k+1)除以k!,余数为等效于(-1)^k.
其他待分析。
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