形态学算法

形态学二值运算包括膨胀，腐蚀，开运算和闭运算基本方法，如下图所示，膨胀运算和闭运算的效果总体上对图像而言是一个区域增长的过程，而腐蚀和开运算是一个区域减少的运算。

HitandMiss算法中文称之为“击中击不中变换”，其数学表达式如下所示：

以上计算方式可以认为是对前景进行腐蚀运算，再对背景进行腐蚀运算，最后再求交集，得到HitandMiss的结果，其运算结果如下所示：

这是一个在前景上fit，背景上Miss的过程，可以用来求取图像上的一些边缘点，顶点或者是一些孤立点，如下图所示，通过HitandMiss算法能够得到齿轮的顶点。

HitandMiss算法的实现过程可以分为以下几个步骤：

如下图所示利用四个表示左上角，右上角，左下角和右下角的SE对原图进行HitandMiss运算，可以实现一个角度检测的功能。

PatternSpectrum用来描述粒度尺寸的密度情况，简单来说也就是表示图像中物体尺寸的分布情况。对于图像,利用一系列大小不同的SE（记为）求取PatternSpectrum（记为）的表达式，如下所示：

其中Card表示对当前物体尺寸的数量进行计数。

PatternSpectrum的计算过程可以描述为以下几个步骤：

注意：上述步骤的循环过程中，随着的增加，结构化元素SE的尺寸也会随之扩展，这意味着图像中尺寸较小的目标将会在初始阶段被过滤，而随着SE的扩张，图像中尺寸越来越大的目标也会逐渐消失。

PatternSpectrum的应用实例如下所示，可以看出，对一个包含不同大小目标的图像而言，随着PatternSperctrum过程，利用尺寸不断扩展的SE进行开运算，图像中的物体会根据尺寸大小的不同被逐渐抹去。

最后通过PatternSpectrum可以得到图像中不同尺寸目标的分布情况，如下图所示：

PatternSpectrum不仅可以用来分析图像中不同尺寸目标的分布情况，而且还可以用来分析目标的形状，如下图所示，数字“3”和“5”在形状上具有相似性，所以其PatternSpectrum的波形也具有相似性。

对一副图像进行多次dilatio的过程称之为recursivedilation，其定义如下所示：

与RecursiveDilation相对应的一种形态学算法是RecursiveErosion，对一副图像实现递归腐蚀的算法，其数学定义公式如下：

当对图像中的目标实现RecursiveErosion时，目标的尺寸会逐渐减小，直到完全消失。

Recursive可以用来实现图像分割，如下图所示，对一副图像执行RecursiveErosion时，图像的中的目标会逐渐缩小，相连的区域会逐渐分离。

对一副二值图像RescursiveErosion，每一次Erosion都会抹去图像中的一些像素点，按照RescursiveErosion的操作，将每次通过Erosion抹去的像素点标记为Erosion的次数，则可以将二值图像转换为灰度图像，此过程被称之为DistanceTransform，具体如下图示例所示：

为了更加直观地理解DistanceTransform的过程，整个DistanceTransform的过程如下图所示：

按照SE的不同，DistanceMetrics可以分为以下三类：

CityBlockDistance的实现，可以从公式中看出，用到了矩形的SE，也就是一个8领域SE，其实现效果如下：

一些DIstanceTransform的效果图如下图所示：

通过上述DistanceTransform的效果图可以看出，通过DistanceTransform的转换，得到的效果图中，距离图像边缘最远的点，中间会形成一条近似于白色的线，这些白色的线，在形态学中，被定义为Skeleton，如下图所示：

Skeleton的实现，用数学公式可以描述为一下两个步骤：

通过Erosion可以得到一副图像的Skeleton，那么如果知道Skeleton过程中的一系列和Skeleton子集，那么通过与Erosion相反的运算Dilation，可以将Skeleton恢复成原图，这一过程称之为SkeletonReconstruction其数学定义如下图所示：为了更形象地理解Skeleton和SkeletonReconstruction的实现过程，有如下示例：

如上图通过DistanceTransform可以得到图像中关于像素的一组局部8领域最大值（局部最大值），只要将这些局部最大值提取出来，就得到了原图的Skeleton

而将Skeleton恢复成原图的过程，可以用下图表示

如上图SkeletonReconstruction的过程与求DistanceTransform的过程想反，可以表述为，先对SE的size为3的像素点进行Dilation，再对SE的size为2的像素点进行Dilation，最后对SE的size为1的点进行Dilation，最后实现SkeltonReconsturction