裂缝分布的分形特征

碳酸盐岩储层的裂缝分布虽然与断层的发育有一定的联系，但是裂缝发育区块的形状以及彼此间的空间配置关系是极为复杂的，具有强烈的平面非均质性。如何定量的描述、评价这种极为复杂的几何图形呢?

对于这类问题，经典的欧几里得几何学感到无所适从，而分形几何一出现，它以其全新的思路使这些看似无法超越的问题都迎刃而解了（J.Pang，etal.，1996；G.Perez，etal.，1997），分形几何对于像弯弯曲曲的海岸线长度问题、翻腾滚滚的积雨云的面积等复杂问题，提出了分维数的概念，认为传统的整数维概念只是在考虑相对简单的问题时分维的近似表达方法，在描述复杂问题时，整数维的认识偏差就不可忽视了。

在一条地震剖面上作裂缝预测所得到的最终裂缝等发育参数曲线就类似于弯曲的海岸线，最终得到的溶蚀和裂缝分布平面图就类似于翻滚的积雨云，应该运用分形的理论和方法来描述它在空间的非均质性。

对于这类问题，应该求取裂缝发育区的相似维数，通过相似维数这一定量参数来描述和评价裂缝在二维平面上分布的复杂性，要更好的理解相似维数在评价裂缝平面分布中的作用，先对相似维数的概念作一介绍是十分必要的。

2.6.1相似维数简介

相似维数可以看做是欧氏空间中经验维数的直接推广。分形的基本特征是具有自相似结构，但并非具有自相似结构的图形都是分形，比如正方形还可以分成更小的正方形，每个小正方形与大正方形之间是严格相似的，但正方形不是分形。但无论是否分形，通常具有严格自相似结构的图形都有一个共同点，即在其放缩的比例因子和整体所分成的小部分个数之间总存在某种关系。正是从这个共同点出发，我们从线段、正方形和立方体的相似性关系抽象出了分形体的相似维数定义（王域辉等，1994）。如图2-13所示，将长为一个单位的线段、或者将边长为一个单位的正方形和边长为一个单位的立方体的边分别缩小为三分之一，则线段将变为31=3个三分之一单位的小线段，正方形将变为32=9个边长为三分之一单位的小正方形，而立方体则变为33=27个边长为三分之一单位的小立方体。

图2-13几种非分形图形的自相似性

显然对于线段、正方形和立方体，图形所分成的小部分的个数N和整个图形的放缩因子r之间存在如下的幂律关系：

储层特征研究与预测

这里的d正是它们的拓扑维数，对于线、面和体，d分别取值1、2和3。从这里可以得到启发，如果一分形S（它可以看做是一些点的集合）可以划分为N个同等大小的（欧氏几何意义上的）子集，每一子集原集合放大r倍），则S的相似维数Ds定义为：

储层特征研究与预测

相似维数指示着几何图形对空间的填充能力，在相似维数被提出之前，人们认为几何图形只有整数维，如点对空间的填充能力为0，其维数为0；线是一维的；面是二维的；体是三维的。相似维数的提出大大开阔了人们的视野，人们发现了维数界于0～1之间的点集合，发现了维数界于1和2之间的曲线，甚至严密地证明了有能够完全充满整个二维空间的曲线（皮亚诺曲线），进而发现了高于二维的曲面（如积雨云的外表面），现在人们发现，自然界中的大部分物体都是分形体，原来认为是整数维的物体竟然少得可怜，整数维只是分维的一种特例。

由此联想到裂缝平面分布图，在一定的平面范围内，既有大块的裂缝发育区，也有小块的裂缝发育区，大块的裂缝发育区与小块的裂缝发育区在外形上没有显著的差别，只是面积大小不同而已；而且如果视野靠近或远离图形，会发现所看到的图形轮廓依然相似，不同的只是所看到的小块的最小尺度（即分辨率）不同，也即自相似性；我们所使用的三维地震网格是20m×20m，如果在单元网格块内再内插测线，那么在裂缝不发育单元网格块内还会有更小尺度上的裂缝发育区出现，裂缝发育单元网格块内也会有更小裂缝较发育区的不发育区出现，也就是图形进一步被“碎化”，更接近分形这一称呼（分形的英文为fractus），但碎化出的更小单元图形与上一级的单元图形之间的相似关系依然存在，这样级级相似，永无停止。可见裂缝平面分布图是一种分形图形，用相似维数来描述裂缝发育区对二维空间的充填能力，当然可以定量评价裂缝在平面上的发育程度的高低和非均质性的强弱。

2.6.2裂缝发育区相似维数的统计方法

首先应该说明，裂缝发育区边界形态复杂，而且单个裂缝发育区大大小小，也即没有特征长度，任何大小的标尺都不能穷尽其特征，只能不断运用变尺度法，用不同大小的正方形（二维标尺）去丈量它，数取包含裂缝发育区的正方形个数，随着丈量尺寸的逐步变小，包含有裂缝发育区的单元网格的个数也逐渐增多，这样就得到一系列的r和与之相对应的包含裂缝发育区的正方形个数N（图2-14），将1/r和N在双对数坐标内作二者散点关系，会发现二者之间呈明显的双对数线性关系，其拟合直线的斜率就是整个工区内裂缝发育区这一复杂几何图形的相似维数。

图2-14裂缝发育区变尺度测量

值得一提的是，由于每个小的裂缝发育区的边界都是弯曲的，在运用正方形标尺对其进行丈量时，只有当正方形标尺的尺寸小于单个裂缝发育区且位于其内部时，该正方形是被裂缝发育区全充满的；而当正方形标尺跨过单个裂缝发育区的边界时，裂缝发育区并未充满该正方形标尺，此时的统计原则是这样的，无论标尺是否被裂缝发育区全充满，只要其内部含有裂缝发育区（哪怕是只占正方形标尺面积的很小一部分），都要把它看成是有效的，即应统计在总的正方形个数N之内。这看似是不精确的，但通过标尺尺度的变小，这种边界效应会逐渐消失，最小尺度时所统计的总面积与裂缝发育区的实际面积最为相近。

2.6.3裂缝发育区相似维数的结果分析

通过对较发育、发育差、不发育三类裂缝发育区进行变尺度统计，得到储层不同的标尺边长r和包含有裂缝发育区的正方形个数N的参数系列（表2-8）。

表2-8储层裂缝发育带变尺度统计参数表

发现储层的lnN与ln（1/r）之间确实存在着统计上的线性正相关关系，线性相关系数都在0.95以上（图2-15）。同时也可以看出散点还具有明显的分段特征，当正方形标尺的尺寸较大时（靠左的几个点）直线的斜率较高，当标尺尺寸逐步变小时，直线的斜率趋于稳定，这主要是由于全几个点的正方形标尺尺寸太大，裂缝发育区分散于其内部，真正落入单个裂缝发育区的标尺正方形个数太少，基本都是跨过发育区边界或是多个裂缝发育区单元同在一个标尺正方形内部的情况，每个标尺单元被裂缝发育区所充填的程度不高，而在统计时大多数标尺正方形内都或多或少的被裂缝发育区所充填，这导致统计的裂缝发

图2-15储层裂缝发育区平面分布的分形自相似特征图

育区对二维空间的充填能力比实际要高一些，表现为前段斜率较后段的高。

由图2-15进一步统计出了各砂层与相似维数有关的一系列参数（表2-9），这些参数可以用来定量评价裂缝在平面上的发育程度。

表2-9储层裂缝平面分布的分形特征参数

从表2-9可以得出以下结论：

（1）总斜率与第二直线段斜率的对应关系很好，但总斜率要比第二直线段斜率高一点，主要是由于有第一直线段上的数据点参与拟合所致。因此裂缝平面分布的相似维数应该取第二直线段斜率。

（2）相似维数小于1，说明裂缝发育区对二维空间的充填能力是较差，一般来说相似维数大于1时，裂缝发育区才有连片分布的可能性。况且前面已经提到过，在N值的统计方法上，我们采用只要有裂缝发育区在标尺正方形内存在，我们就算该正方形是有效的，即采取不保守估计法，如果在统计规则中约定采用保守估计，即只有全充满标尺正方形的才算有效，那么相似维数值还会有一定程度的降低。这说明相似维数的统计结果表明，义和庄奥陶系储层中裂缝发育区的分布是很局限的。

（3）两直线段的交点反映了裂缝平面分布的“碎化”速率，即当丈量尺寸变小时，一个包含裂缝发育区的正方形将碎化为几个，开始“碎化”的标尺尺寸越小，表明裂缝发育区越不易被碎化，暗示着裂缝发育区对空间的充填能力越强。交点的标尺尺寸与相似维数是有明显的负相关关系的。

（4）在最小标尺尺度时所统计的有效正方形个数占总个数的比率，如裂缝发育区占工区总面积百分比最为接近，当然当标尺尺寸进一步变小时，该比率还会有微弱的降低趋势。