全国中学生数学竞赛八年级试题及答案

2009年全国初中数学竞赛广州赛区

初中数学竞赛试题

一、选择题(本题共8小题，每小题6分，满分48分)：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内．

1.已知函数y=x2+1–x，点P(x，y)在该函数的图象上.那么点P(x，y)应在直角坐标平面的()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

2．一只盒子中有红球m个，白球10个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是()

(A)m+n=10(B)m+n=5(C)m=n=10(D)m=2，n=3

3．我省规定：每年11月的最后一个星期日举行初中数学竞赛，明年举行初中数学竞赛的日期是()

(A)11月26日(B)11月27日(C)11月29日(D)11月30日

4.在平面直角坐标系中有两点A(–2，2)，B(3，2)，C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有()

(A)1个(B)2个(C)4个(D)6个

5．如图，在正三角形ABC的边BC，CA上分别有点E、F，且满足

BE=CF=a，EC=FA=b(a>b).当BF平分AE时，则ab的值为（）

(A)5–12(B)5–22(C)5+12(D)5+22

6．某单位在一快餐店订了22盒盒饭，共花费140元，盒饭共有甲、乙、丙三种，它们的单价分别为8元、5元、3元．那么可能的不同订餐方案有()

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

7．已知a>0，b>0且a(a+4b)=3b(a+2b).则a+6ab–8b2a–3ab+2b的值为()

(A)1(B)2(C)1911(D)2

8．如图，在梯形ABCD中，∠D=90°，M是AB的中点，若

CM=6.5，BC+CD+DA=17，则梯形ABCD的面积为()

(A)20(B)30(C)40(D)50

二、填空题(本题共4小题，每小题8分，满分32分)：将答案

直接填写在对应题目中的横线上．

9．如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M，N分别是AB和BC

的中点MP⊥CD于P，则∠NPC的度数为．

10．若实数a满足a3+a2–3a+2=3a–1a2–1a3，

则a+1a=．

11．如图，在△ABC中∠BAC=45°，AD⊥BC于D，若BD=3，CD

=2，则S⊿ABC=.

12．一次函数y=–33x+1与x轴，y轴分别交于

点A，B．以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD(如

图)．在第二象限内有一点P(a，12)，满足S△ABP=S正方形ABCD，

则a=．

三，解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分)

13，如图，点Al，Bl，C1分别在△ABC的边AB，BC，CA上，

且AA1AB=BB1BC=CC1CA=k(k<12)．若△ABC的周长为p，△A1B1C1

的周长为p1，求证：p1<(1–k)p.

14．某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．

15．若a1，a2，…，an均为正整数，且a1<a2<…<an≤2007．为保证这些整数中总存在四个互不相同的数ai，aj，ak，al，使得ai+aj=ak+al=an，那么n的最小值是多少?并说明理由．

参考答案：

一．BADDCCBB二.9.50°10.2或–311.1512.32–8．

三．13.略14.6位学生15.略.