根号1x^2的不定积分是什么
发表时间：2024-07-13 20:34:19
来源：网友投稿
回答如下：
令x=tant，t∈(-π/2，π/2)
√(1+x²)=sect，dx=sec²tdt
∫√(1+x²)dx
=∫sec³tdt
=∫sectd(tant)
=sect*tant-∫tantd(sect)
=sect*tant-∫tan²t*sectdt
=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt
=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)
=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C
原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C
不定积分的意义：
如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
设G(x)是f(x)的另一个原函数，即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’。
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