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费马数的性质

发表时间：2024-07-13 21:29:34 来源：网友投稿

任意两个费马数都互质。证明如下：设m>n,，而===……=，所以整除。根据辗转相除的原理，，所以任意两个费马数都互质。费马数满足以下的递回关系：其中n≥2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个我们需要假设0≤i1。那么a能把和Fj都整除；则a能整除它们相减的差。因为a>1，这使得a=2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。其他性质：Fn的位数D(n,b)可以表示成以b为基数就是(参见高斯函数).除了F1=2+3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。当p是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。除了F0和F1，费马数的最后一位是7。所有费马数（OEIS中的数列A051158）的倒数之和是无理数。

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