数学的一些定律

单项式和多项式统称为整式。

代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。

整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除。

加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。

整式和同类项

1.单项式

（1）单项式的概念：数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。

注意：数与字母之间是乘积关系。

（2）单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。

如果一个单项式，只含有数字因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为—1。

（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2.多项式

（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。多项式中的符号，看作各项的性质符号。一元N次多项式最多N+1项

（2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

（3）多项式的排列：

1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。

为了便于多项式的计算，通常总是把一个多项式，按照一定的顺序，整理成整洁简单的形式，这就是多项式的排列。

在做多项式的排列的题时注意：

(1)由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。

(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：

a.先确认按照哪个字母的指数来排列。

b.确定按这个字母向里排列，还是生里排列。

(3)整式：

单项式和多项式统称为整式。

(4)同类项的概念：

所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。

掌握同类项的概念时注意：

1.判断几个单项式或项，是否是同类项，就要掌握两个条件：

①所含字母相同。

②相同字母的次数也相同。

2.同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关。

3.几个常数项也是同类项。

（5）合并同类项：

1.合并同类项的概念：

把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

2.合并同类项的法则：

同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3.合并同类项步骤：

⑴．准确的找出同类项。

⑵．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

⑶．写出合并后的结果。

在掌握合并同类项时注意：

1.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

2.不要漏掉不能合并的项。

3.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

合并同类项的关键：正确判断同类项。

整式和整式的乘法

整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除。

加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。

同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加。

幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

单项式与单项式相乘有以下法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

单项式与多项式相乘有以下法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘有下面的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。

完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两积的2倍。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

谈整式学习的要点

屠新民

整式是代数式中最基本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习后续内容（例如分式、一元二次方程等）的需要。整式是在以前学习了有理数运算、列简单的代数式、一元一次方程及不等式的基础上引进的。事实上整式的有关内容在六年级已经学习过，但现在的整式内容比过去更加强了应用，增加了实际应用的背景。

本章知识结构框图：

本章有较多的知识点属于重点或难点，既是重点又是难点的内容为如下三个方面。

一、整式的四则运算

1.整式的加减

合并同类项是重点，也是难点。合并同类项时要注意以下三点：①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准字母和字母指数；②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。

2.整式的乘除

重点是整式的乘除，尤其是其中的乘法公式。乘法公式的结构特征以及公式中的字母的广泛含义，学生不易掌握。因此乘法公式的灵活运用是难点，添括号（或去括号）时，括号中符号的处理是另一个难点。添括号（或去括号）是对多项式的变形，要根据添括号（或去括号）的法则进行。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为，一般多项式的乘除都要“转化”为单项式的乘除。

整式四则运算的主要题型有：

（1）单项式的四则运算

此类题目多以选择题和应用题的形式出现，其特点是考查单项式的四则运算。

（2）单项式与多项式的运算

此类题目多以解答题的形式出现，技巧性强，其特点为考查单项式与多项式的四则运算。

二、因式分解

难点是因式分解的四种基本方法(提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法）。因式分解是整式乘法的逆向变形，因式分解的方法的引入要紧紧抓住这一点。

幂指乘方运算的结果。n^m指将n自乘m次。把n^m看作乘方的结果，叫做n的m次幂。

其中n称为底，m称为指数（写成上标）。当不能用上标时，例如在编程语言或电子邮件中，通常写成n^m或n**m，亦可以用高德纳箭号表示法，写成n↑m，读作“n的m次方”。

当指数为1时，通常不写出来，因为那和底的数值一样；指数为2、3时，可以读作“n的平方”、“n的立方”。

n^m的意义亦可视为1×n×n×n...∶起始值1（乘法的单位元）乘底指数这麼多次。这样定义了后，很易想到如何一般化指数0和负数的情况∶除了0之外所有数的零次方都是1，即n^0=1；幂的指数是负数时，等于1/n^m。

分数为指数的幂定义为x^m/n=n√x^m

幂不符合结合律和交换律。

因为十的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。

有理数（rationalnumber)

整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n的形式，m，n都是整数，且n≠0，m，n互质。

无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数,比如π，3.1415926535897932384626......

而有理数恰恰与它相反,整数和分数、0统称为有理数

包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。

这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。

数学上有理数是一个整数a和一个非零整数b的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。希腊文称为λογο�0�9，原意为“成比例的数”(rationalnumber)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。

所有有理数的集合表示为Q，有理数的小数部分有限或为循环。

有理数分为整数和分数

整数又分为正整数、负整数和0

分数又分为正分数、负分数

正整数和0又被称为自然数

如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。

全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。

有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。

有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：

①加法的交换律a+b=b+a；

②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；

③存在数0，使0+a=a+0=a；

④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；

⑤乘法的交换律ab=ba；

⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c；

⑦分配律a(b+c)=ab+ac；

⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；

⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。

⑩0a＝0文字解释：一个数乘0还于0。

另外有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。

有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。

值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rationalnumber，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

有理数加减混合运算

1.理数加减统一成加法的意义：

对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。

2.有理数加减混合运算的方法和步骤：

（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。

有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。

一般情况下有理数是这样分类的：

整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数

整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱多少斤等。

凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数

一个困难的问题

有理数的边界在哪里？

根据定义无限循环小数和有限小数（整数可认为是小数点后是0的小数），统称为有理数，无限不循环小数是无理数。

但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。

竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。

定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。

证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。

关于无理数与有理数无法比较的说明：

对于定义无限不循环小数是无理数，无理数之外为有理数。则无理数很难被证实，而每一个无理数，无论认识多少位，都有有理数对应，而位数较短的有理数，都没有无理数对应，因此有理数多。

对于定义为有限位小数和无限循环小数为有理数，无限不循环数为无理数。对于很多位数多的无法分辨的数没有明确归属，而认为大于特定有限位的数都是无理数的人，才能证明无理数比有理数多，但那明显是将很多很多有理数归为无理数的结果。在这个定义下，由于界限不明，无法进行比较，除非有人能有力的证明。