怎么证明单调有界数列必有极限
发表时间：2024-07-15 19:34:19
来源：网友投稿
因为函数有界，所以函数的值域有界，所以函数值域必定有“最小上界”(supreme),S因为是单调函数,所以对应任意小的e>0,必定存在N>0使得对于任意x>N,都有|f(x)-S|<e满足极限的定义。
设{x[n]}单调有界（不妨设单增）,那么存在M>=x[n]（任意n）。
所以{x[n]}有上确界,记作l。
对任意正数a,存在自然数N,使得x[N]>l-a。
因为x[n]单增,所以当n>=N时,l-a所以|x[n]-l|所以{x[n]}极限存在,为l。
证明
设数列{xn}单调递增且有上界，接下来用戴德金定理证明{xn}必有极限。
分类讨论如果{xn}从第N项开始所有的项都相等（即数列有无穷多个相等的项），那么由于数列是单调递增的，当n>N时，有xn=xN，因此对即{xn}收敛到xN。
如果{xn}中只有有限项相等，即数列从某项开始严格单调递增，那么因为{xn}有上界，可取所有{xn}的上界组成一个数集B，并取A=R/B。
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