高分悬赏--一道初三数学图形题
发表时间：2024-07-16 23:48:14
来源：网友投稿
首先明确
圆心在矩形外时面积必定小于圆心在矩形内的某种情况
。
可以证明图中是圆心在矩形内，若CD边在AB边左侧，则构成圆心在矩形外的情况。可知上图中的情况下面积要大。所以最大面积只可能出现在，圆心O在矩形内部或边上。
设AD，BC与小圆交于E，F点。因为∠EAB=∠ABF=90°，所以圆心角∠BOE=∠AOF=180°，即是说AF和BE是小圆的直径，弧AE=弧BF，AE=BF。
连接AO，DO。过O作AB的平行线交AD于G，交BC于H，所以GH⊥AD和BC，GH=AB，又GH过圆心，故GH是AE和BF的垂直平分线。因为AE=BF，所以GO=HO=1/2GH=1/2AB。
对于△AOD，S△AOD=1/2OA*OD*sin∠AOD=1/2*AD*GO=1/2*AD*1/2AB
故而矩形ABCD面积=AD*AB=2OA*OD*sin∠AOD=48√2sin∠AOC≤48√2
显然∠AOD=90°时取最大值48√2。
此时AD=√（OA＾2+OD＾2）=6√2
AB=2OA*OD/AD=8
周长=(8+6√2)*2=16+12√2
所以最大面积48√2，此时周长为16+12√2
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